Jak faktorizovat číslo

V tomto článku:Faktorizace základních celých číselPostup při faktorizaci velkých čísel

Děliteli určitého čísla jsou čísla, výsledkem jejichž vzájemného roznásobení je původní číslo. Lze to uchopit i opačně: každé číslo je součinem několika činitelů. Faktorizace – tedy rozklad čísla na činitele, z nichž se skládá – je důležitou schopností, kterou využijete v matematice nejen v základní aritmetice, ale též v algebře, kalkulu a dalších disciplínách. Pokračujte na první krok níže a naučte se faktorizovat!

1
Faktorizace základních celých čísel

  1. 1
    Napište si číslo. Abyste mohli faktorizovat, potřebujete jen nějaké číslo – můžete použít jakékoliv číslo, začněte však s jednoduchým celým číslem. Celá čísla jsou čísla bez zlomkových či desetinných doplňků (zkrátka všechna kladná i záporná celá čísla).
    • Vyberte si číslo 12. Napište si jej na kus papíru, který vám bude sloužit jako šmírák.
  2. 2
    Najděte dvě další čísla, jejichž součinem je vaše první číslo. Každé celé číslo lze zapsat jako součin dvou jiných celých čísel. I prvočíslo lze takto zapsat – jako součin 1 a prvočísla samotného. Zamyslet se nad číslem jako výsledkem násobení dvou činitelů vyžaduje jakési myšlení „pozpátku“ – v podstatě se musíte sami sebe zeptat: „Výsledkem jaké operace násobení je toto číslo?“
    • V našem příkladu má 12 více dělitelů - 12 × 1, 6 × 2 a 3 × 4 se vždy rovná 12. Můžeme tedy říci, že dělitele čísla 12 jsou 1, 2, 3, 4, 6 a 12. Pojďme dále pracovat s děliteli 6 a 2.
    • Sudá čísla se faktorizují velmi jednoduše, protože dělitelem každého sudého čísla je číslo 2. 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2 atd.
  3. 3
    Zjistěte, zda lze některý z činitelů dále rozložit (faktorizovat). Spoustu čísel (zvláště těch velkých) lze faktorizovat několikrát. Když najdete dva dělitele čísla a u jednoho z nich najdete navíc ještě jeho vlastní dělitele, můžete tohoto činitele také faktorizovat. Zda to bude či nebude prospěšné, pak už závisí na konkrétní situaci.
    • V našem příkladě jsme číslo 12 rozdělili na 2 × 6. Všimněte si, že 6 má vlastní dělitele - 3 × 2 = 6. Můžeme tudíž říci, že 12 = 2 × (3 × 2).
  4. 4
    Jakmile se dostanete k prvočíslům, přestaňte faktorizovat. Prvočísla jsou čísla, která lze dělit beze zbytku pouze číslem 1 a jimi samými. Například 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 a 17 jsou prvočísla. Když rozložíte číslo na samá prvočísla, je další faktorizace zbytečná, neboť rozkladem jakéhokoliv prvočísla na součin tohoto prvočísla a 1 si už nijak nepomůžete. V tomto bodě tudíž můžete skončit.
    • V našem příkladě jsme 12 rozložili na 2 × (2 × 3). 2, 2 a 3 jsou všechno prvočísla. Pokud bychom faktorizovali dále, museli bychom čísla rozkládat na (2 × 1) × ((2 × 1)(3 × 1)), což nám většinou nijak nepomůže, proto se tento krok běžně neprovádí.
  5. 5
    Záporná čísla faktorizujte stejně. Záporná čísla lze faktorizovat téměř stejně jako čísla kladná. Jediným rozdílem je to, že součinem činitelů musí být záporné číslo, tudíž musíme získat lichý počet záporných činitelů.
    • Pojďme například faktorizovat číslo -60. Postup vidíte níže:
      • -60 = -10 × 6
      • -60 = (-5 × 2) × 6
      • -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
      • -60 = -5 × 2 × 3 × 2. Všimněte si, že krom jednoho záporného čísla můžete použít i jakýkoliv jiný lichý počet záporných čísel, aniž by se výsledek změnil. Např.: -5 × 2 × -3 × -2 se také rovná -60.

2
Postup při faktorizaci velkých čísel

  1. 1
    Napište si číslo nad tabulku se dvěma sloupci. Faktorizace malých celých čísel je poměrně snadná, u velkých čísel se však již lehce zapotíte. Pro většinu lidí by bylo velmi obtížné faktorizovat čtyř- či pěticiferné číslo na prvočísla „z hlavy“. Naštěstí si lze tento proces velmi zjednodušit použitím tabulky. Napište si číslo nad tabulku ve tvaru písmene „T“ se dvěma sloupci. Tuto tabulku použijete pro sledování rozrůstajícího se seznamu činitelů.
    • Pro náš příklad si k faktorizaci vyberme čtyřciferné číslo 6,552.
  2. 2
    Vydělte toto číslo nejmenším možným prvočíslem. Vydělte toto číslo nejmenším možným prvočíslem (ne však 1), kterým jej lze vydělit beze zbytku. Tento prvočinitel si zapište do levého sloupečku, výsledek dělení pak napište naproti něj do sloupečku pravého. Jak jsme zmínili výše, sudá čísla lze faktorizovat velmi snadno, protože jejich nejmenším prvočinitelem je vždy číslo 2. Naopak nejmenší prvočinitel u lichých čísel je pokaždé jiný.
    • V našem příkladě, jelikož je číslo 6,552 sudé, víme, že nejmenším prvočinitelem je číslo 2. 6,552 ÷ 2 = 3,276. Do levého sloupečku zapišme 2, do pravého pak 3,276.
  3. 3
    Stejným způsobem ve faktorizaci pokračujte. V další kroku pouze namísto čísla z vršku tabulky faktorizujte nejmenším prvočinitelem číslo z pravého sloupečku. Napište prvočinitel do levého sloupce, nově vzniklé číslo do sloupce pravého. Opakujte tento proces, přičemž s každým opakováním se musí číslo v pravém sloupci zmenšit.
    • Pokračujme tedy: 3,276 ÷ 2 = 1,638, takže níže do levého sloupce napíšeme opět 2, níže do pravého sloupce pak 1,638. 1,638 ÷ 2 = 819, takže opět níže do sloupců zapíšeme 2 a 819.
  4. 4
    U lichých čísel zkoušejte malá prvočísla. Lichá čísla jsou, co se nalezení nejmenšího prvočinitele týče, obtížnější než čísla sudá. Jejich nejmenší prvočinitel totiž není automaticky 2. Když se dostanete k lichému číslu, zkuste jej dělit malými prvočísly různými 2, tedy: 3, 5, 7, 11 a tak dále, dokud nenajdete prvočíslo, které dělí vaše číslo beze zbytku. Toto prvočíslo je nejmenším prvočinitelem.
    • V našem příkladě jsme se dostali k číslu 819. 819 je číslo liché, takže číslo 2 nemůže být činitelem. Namísto zápisu další 2 tedy vyzkoušejme hned další prvočíslo: 3. 819 ÷ 3 = 273 beze zbytku, takže zapíšeme 3 a 273.
    • Při hádání dělitelů byste měli vyzkoušet všechna prvočísla až po odmocninu z dosud největšího nalezeného dělitele. Pokud žádným z takto vyzkoušených činitelů nemůžete dělit beze zbytku, nejspíše se snažíte faktorizovat prvočíslo. V tom případě máte hotovo.
  5. 5
    Pokračujte, než se dostanete k 1. Pokračujte v dělení čísel v pravém sloupci jejich nejmenším prvočinitelem, dokud se nedostanete k prvočíslu. To pak vydělte sebou samým – do levého sloupce tak zapíšete dané prvočíslo, zatímco v pravém sloupci vám vyjde "1".
    • Pojďme dokončit faktorizaci našeho čísla. Podrobný rozbor vidíte níže:
      • Vydělte číslo znovu 3: 273 ÷ 3 = 91, žádný zbytek, takže zapíšeme 3 a 91.
      • Zkusme znovu 3: 91 nelze vydělit beze zbytku 3, ani následujícím nejnižším prvočíslem (5), avšak 91 ÷ 7 = 13 beze zbytku. Zapíšeme tedy 7 a 13.
      • Zkusme znovu 7: 13 nelze beze zbytku vydělit 7, ani 11 (nejbližším dalším prvočíslem), lze jej však vydělit sebou samým: 13 ÷ 13 = 1. Dokončíme tedy tabulku zapsáním čísel 13 a 1. Teď už konečně můžeme s faktorizací přestat.
  6. 6
    Použijte čísla v levém sloupce jako činitele původního čísla. Jakmile dostanete v pravém sloupci 1, máte hotovo. Čísla zapsaná na levé straně tabulky jsou hledané činitele. Jinými slovy, když všechna tato čísla vynásobíte, dostanete číslo na vršku tabulky. Pokud se v levém sloupci několikrát opakuje stejný činitel, můžete ušetřit místo využitím exponenciálního zápisu. Například pokud je prvním činitelem čtyřikrát číslo 2, můžete namísto 2 × 2 × 2 × 2 napsat 24.
    • V našem příkladu se číslo 6,552 = 23 × 32 × 7 × 13. Toto je konečný rozklad čísla 6,552 na prvočísla. Bez ohledu na pořadí, v jakém tato čísla vynásobíte, výsledkem bude vždy 6,552.

Tipy

  • Důležitý je také koncept prvočísla: čísla, které má jen dva prvočinitele, a to 1 a sebe samo. 3 je prvočíslo, protože jeho jedinými prvočiniteli jsou 1 a 3. Oproti tomu prvočinitelem 4 je 2. Číslo, které není prvočíslem, nazýváme číslem složeným. (Číslo 1 přitom není považováno ani za prvočíslo, ani za číslo složené – jde o speciální případ.)
  • Nejnižší prvočísla jsou 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 a 23.
  • Zapamatujte si, že číslo je prvočinitelem jiného, většího čísla jen tehdy, pokud jej "dělí čistě " – tedy pokud lze větší číslo vydělit větším beze zbytku. Například číslo 6 je činitelem čísla 24, protože 24 ÷ 6 = 4 beze zbytku. Na druhou stranu, číslo 6 nemůže být dělitelem 25
  • Některá čísla lze faktorizovat rychlejšími metodami, tento postup však funguje za každých okolností, a navíc jako bonus na konci dostanete prvočísla seřazená vzestupně.
  • Pokud je součet čísel v čitateli násobkem čísla 3, pak je číslo 3 dělitelem tohoto čísla. ( 819 = 8+1+9, tedy = 18, 1+8 =9. 3 je dělitelem čísla 9, takže je i dělitelem čísla 819.)
  • Nezapomeňte, že jsme nyní uvažovali jen takzvaná "přirozená čísla" – občas označovaná také jako „kladná celá čísla“: 1, 2, 3, 4, 5... Nezabýváme se zde zabývat zápornými čísly a zlomky, které by vydaly na samostatný článek.

Varování

  • Nepřidávejte si práci. Jakmile vyloučíte jednoho z kandidátů na dělitele, nemusíte jej znovu zkoušet. Pokud jste zjistili, že číslo 2 není dělitelem čísla 819, dále už jej nemusíte zkoušet.

Věci, které budete potřebovat

  • Papír
  • Psací potřeby, ideálně tužku a gumu
  • Kalkulačku (volitelně)

Informace o článku

wikiHow je "wiki", což znamená, že na jednom článku se podílí více autorů. Na vytvoření tohoto článku se podílelo 55 lidí, někteří anonymně, aby jej v průběhu času vylepšili.

Kategorie: Matematika

V jiných jazycích:

English: Factor a Number, Español: factorizar un número, Italiano: Scomporre un Numero in Fattori Primi, Deutsch: Eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen, Português: Fatorar um Número, 中文: 找出一个数的因数, Русский: разложить число на множители, Français: décomposer un nombre en un produit de facteurs, Nederlands: Een getal ontbinden in factoren, Bahasa Indonesia: Memfaktorkan Bilangan, ไทย: แยกตัวประกอบ, العربية: تحليل عدد لعوامله, हिन्दी: किसी संख्या का गुणनखंड ज्ञात करें, 한국어: 소인수분해 하는 법, Tiếng Việt: Phân tích Một số Thành các Thừa số

Stránka byla zobrazena 890 krát.
Byl tento článek přesný?