Jak najít ekvivalentní zlomky

Spoluautorem článku je David Jia

Dva zlomky jsou ekvivalentní v případě, že mají stejnou hodnotu. Vědět, jak převést jeden zlomek na jiný, ekvivalentní, patří mezi základní matematické dovednosti, které jsou nezbytné ve všech disciplínách matematiky – od základní algebry po pokročilou matematickou analýzu. Tento článek vám představí několik možností pro výpočet ekvivalentních zlomků, od základního násobení a dělení až po složitější metody řešení rovnic s ekvivalentními zlomky.

Metoda 1

Metoda 1 ze 5:
Vytváření ekvivalentních zlomků

1
Vynásobte čitatel a jmenovatel shodnými čísly. Dva rozdílné, avšak ekvivalentní zlomky mají (z definice) čitatele a jmenovatele takové, že jsou násobkem jeden druhého. Jinými slovy, vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem dostanete ekvivalentní zlomek. Ačkoliv budou čísla v novém zlomku odlišná, jeho hodnota zůstane nezměněná.
- Například když si vezmeme zlomek 4/8 a vynásobíme jeho čitatel i jmenovatel číslem 2, dostaneme zlomek (4×2)/(8×2) = 8/16. Tyto dva zlomky jsou si rovny.
- (4×2)/(8×2) je v podstatě to samé jako 4/8 × 2/2. Nezapomeňte, že při násobení zlomků násobíte protější čísla, tedy čitatel s čitatelem, jmenovatel se jmenovatelem.
- Všimněte si, že 2/2 se po vydělení rovná 1. Tudíž je jasné, proč jsou si zlomky 4/8 a 8/16 rovny, jelikož je 4/8 × (2/2) = 4/8. Stejně tak lze říci, že se 4/8 = 8/16.
- Jakýkoliv existující zlomek má nekonečně mnoho ekvivalentních zlomků. Čitatel a jmenovatel můžete vynásobit jakýmkoliv celým číslem bez ohledu na jeho velikost, přičemž vždy dostanete ekvivalentní zlomek.
2
Vydělte čitatel i jmenovatel stejným číslem. Stejně jako násobení lze k nalezení nového ekvivalentního zlomku původního zlomku využít i dělení. Jednoduše čitatel a jmenovatel zlomku vydělte stejným číslem a dostanete ekvivalentní zlomek. K tomu se vztahuje jediné varování: aby platil, musí mít výsledný zlomek na místě čitatele i jmenovatele celé číslo.
- Podívejme se například znovu na zlomek 4/8. Pokud namísto násobení vydělíme jeho čitatel i jmenovatel číslem 2, dostaneme (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 i 4 jsou celá čísla, takže jde o ekvivalentní zlomek.
Reklama

Metoda 2

Metoda 2 ze 5:
Ověření ekvivalence pomocí základního násobení

1
Najděte číslo, kterým je nutné vynásobit menší jmenovatel, abyste dostali větší jmenovatel. Řada problémů se zlomky zahrnuje ověření toho, zda jsou dva zlomky ekvivalentní. Výpočtem tohoto čísla dokážete oba zlomky převést do stejného tvaru, čímž ověříte ekvivalenci.
- Například si vezměte opět zlomky 4/8 a 8/16. Menší jmenovatel je 8, museli byste ho tedy vynásobit číslem 2, abyste dostali větší jmenovatel, kterým je 16. Hledané číslo je v tomto případě 2.
- U složitějších čísel lze jednoduše větší jmenovatel vydělit menším jmenovatelem. V tomto případě tedy 16 děleno 8, což nám opět dává 2.
- Výsledné číslo nemusí být vždy celé. Například jsou-li jmenovateli čísla 2 a 7, pak je hledaným číslem 3.5.
2
Vynásobte čitatel a jmenovatel zlomku vyjádřeného menšími čísly číslem nalezeným v prvním kroku. Dva zlomky, které jsou odlišné, avšak ekvivalentní, mají z definice čitatele a jmenovatele, které jsou násobky jeden druhého. Jinými slovy, vynásobením čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem dostanete ekvivalentní zlomek. Ačkoliv budou čísla v novém zlomku odlišná, bude mít zlomek stejnou hodnotu. ^{[1]
X
Zroj výzkumu}
- Například si vezměme zlomek 4/8 z prvního kroku a vynásobme jeho čitatel i jmenovatel dříve zjištěným číslem 2. Dostaneme (4×2)/(8×2) = 8/16, což je důkazem toho, že jsou tyto dva zlomky ekvivalentní.
Reklama

Metoda 3

Metoda 3 ze 5:
Ověření ekvivalence pomocí základního dělení

1
Vypočítejte hodnotu každého ze zlomku do podoby desetinného čísla. Jednoduché zlomky bez proměnných můžete jednoduše vyjádřit jako hodnotu desetinného čísla, ze kterého už snadno ověříte rovnost. Jelikož je každý zlomek vlastně startovním bodem pro dělení, je toto zdaleka nejjednodušší cesta k určení ekvivalence.
- Například vezměme předešlý zlomek 4/8. Výraz 4/8 je to stejné, jako když řekneme 4 děleno 8, což je: 4/8 = 0.5. Stejně vyřešíme i další příklad, tedy 8/16 = 0.5. Nezávisle na podobě zlomku, pokud jsou po vyjádření v desetinné podobě čísla stejná, jde o ekvivalentní zlomky.
- Pamatujte, že se mohou desetinné výrazy začít lišit až po několika číslicích. Nejjednodušším příkladem je 1/3 = 0.333 periodických, zatímco 3/10 = 0.3. Při výpočtu více než jedné číslice vidíme, že tyto dva zlomky nejsou ekvivalentní.
2
Vydělte čitatel i jmenovatel zlomku stejným číslem, abyste dostali ekvivalentní zlomek. U složitějších zlomků je třeba k metodě dělení přidat další krok. Stejně jako u metody násobení, zde můžete vydělit čitatel i jmenovatel zlomku stejným číslem, čímž dojdete k ekvivalentnímu zlomku. Platí zde však jedno varování: aby platil, musí mít výsledný zlomek v čitateli i jmenovateli celá čísla.
- Podívejme se například znovu na 4/8. Pokud namísto násobení čitatel i jmenovatel vydělíme číslem 2, dostaneme (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 i 4 jsou celá čísla, tudíž je tento ekvivalentní zlomek platný.
3
Snižte úroveň zlomku na základní tvar. Většinu zlomků lze obvykle vyjádřit v základním tvaru. Převést je do něj můžete vydělením největším společným dělitelem. Tento krok pracuje se stejnou logikou vyjádření zlomku pomocí převodu na základní tvar, v této metodě však hledáme cestu, jak zlomek na základní tvar upravit.
- U zlomku v základním tvaru jsou čitatel i jmenovatel nejmenšími možnými čísly. Ani jeden z nich nelze již vydělit žádným celým číslem tak, aby vzniklo číslo menší. Abychom dostali ke zlomku, který v základním tvaru není, ekvivalentního zlomek, který v základním tvaru je, vydělíme čitatel i jmenovatel jejich největším společným dělitelem.
- Největší společný dělitel čitatele a jmenovatele je největší číslo, kterým lze dělit obě čísla tak, aby bylo výsledkem celé číslo. V našem příkladu s 4/8 bychom dostali základní tvar zlomku vydělením čitatele i jmenovatele číslem 4, jelikož to je největší číslo, které dělí beze zbytku jak 4, tak 8. (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2. V našem dalším příkladě se zlomkem 8/16 je největším společným dělitelem číslo 8, po dělení kterým rovněž dostaneme základní tvar zlomku 1/2.
Reklama

Metoda 4

Metoda 4 ze 5:
Nalezení neznámé pomocí násobení křížem

1
Položte dva zlomky do rovnice. Křížové násobení můžeme použít při řešení příkladů, u kterých víme, že si jsou zlomky rovny, avšak jedno z čísel bylo nahrazeno neznámou (obvykle x), kterou musíme najít. V takových případech víme, že si jsou zlomky rovny, jelikož jsou jedinými výrazy na obou stranách znaménka rovno. Cesta k nalezení neznámé však často není až tak zřejmá. Naštěstí lze tento typ příkladů snadno vyřešit násobením křížem. ^{[2]
X
Zroj výzkumu}
2
Vezměte dva ekvivalentní zlomky a vynásobte je přes znaménko rovno ve směru písmene "X". Jinými slovy, čitatel jednoho zlomku násobíte jmenovatelem druhého a opačně. Výsledky pak postavíte do rovnosti. ^{[3]
X
Zroj výzkumu}
- Vezměme si naše dva příklady se zlomky 4/8 a 8/16. Ty sice neobsahují neznámou, uvedenou myšlenku s jejich pomocí však můžeme dokázat, protože již víme, že jsou ekvivalentní. Násobením do kříže dostaneme 4 x 16 = 8 x 8, neboli 64 = 64, což zjevně platí. Pokud se tato dvě čísla nerovnala, zlomky nejsou ekvivalentní.
3
Zaveďte si neznámou. Protože je násobení do kříže nejsnazším způsobem k nalezení neznámé pro ekvivalentní zlomky, přidejme si ji do příkladu.
- Například uvažujme rovnici 2/x = 10/13. Při křížovém násobení násobíme 2 krát 13 a 10 krát x. Výsledky pak postavíme do rovnosti:
  - 2 × 13 = 26
  - 10 × x = 10x
  - 10x = 26. Odsud už jednoduchým výpočtem získáme hodnotu neznámé x = 26/10 = 2.6, což znamená, že původními ekvivalentními zlomky byly: 2/2.6 = 10/13.
4
Využijte křížové násobení k řešení rovnic s více neznámými nebo vyjádřeními neznámé. Nejlepší na křížovém násobení je to, že funguje stejně dobře jak při řešení dvou jednoduchých zlomků (jako výše), tak v příkladech se složitějšími zlomky. Pokud například oba zlomky obsahují proměnnou, stačí vám tyto proměnné na konci výpočtu vyloučit. Obdobně, pokud obsahují výraz s proměnnou (např. x + 1) čitatele či jmenovatele zlomů, jednoduše se jimi díky distributivnosti násobení "pronásobíte", takže je nakonec vyřešíte jako obvykle. ^{[4]
X
Zroj výzkumu}
- Uvažme například rovnici ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). Tu vyřešíme křížovým násobením jako výše:
  - (x + 3) × 4 = 4x + 12
  - (x + 1) × 2 = 2x + 2
  - 2x + 2 = 4x + 12, nyní můžeme rovnici zjednodušit odečtením 2x od obou stran
  - 2 = 2x + 12, nyní můžeme neznámou izolovat tak, že od obou stran rovnice odečteme 12.
  - -10 = 2x, a vydělíme číslem 2, abychom dostali x
  - -5 = x
Reklama

Metoda 5

Metoda 5 ze 5:
Nalezení neznámých vzorcem pro kvadratickou rovnici

1
Vynásobte dva zlomky do kříže. I u příkladů vyžadujících výpočet kvadratické rovnice začneme s násobením do kříže. Každé násobení do kříže, při kterém násobíme výraz s neznámou dalším výrazem s neznámou, však nejspíše vyústí do tvaru, který nelze jednoduše algebraicky vyřešit. V takových případech může být nutné využít rozklad čísel, nebo vzorec pro kvadratickou rovnici. ^{[5]
X
Zroj výzkumu}
- Podívejme se například na rovnici ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Nejprve ji vynásobme do kříže:
  - (x + 1) × (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
  - 4 × 3 = 12
  - 2x² - 2 = 12.
2
Vyjádřete rovnici do tvaru kvadratické rovnice. V tuto chvíli musíme vyjádřit rovnici v kvadratické podobě (ax² + bx + c = 0), čehož dosáhneme položením výrazu rovno 0. V tomto případě odečteme od obou stran rovnice 12, abychom dostali 2x² - 14 = 0.
- Některé hodnoty mohou být rovny 0. Ačkoliv je nejjednodušším vyjádřením naším rovnice 2x² - 14 = 0, správným kvadratickým tvarem je 2x² + 0x + (-14) = 0. Ten vám pravděpodobně pomůže lépe rozpoznat tvar kvadratické rovnice, i když jsou některé prvky rovny 0.
3
Vyřešte rovnici dosazením svých čísel do vzorce pro kvadratickou rovnici. V tuto chvíli vám s vyřešením příkladu pomůže vzorec pro výpočet kvadratické rovnice (x = (-b +/- √(b² - 4ac))/2a) .^{[6]
X
Zroj výzkumu} Nezalekněte se délky vzorce. Před výpočtem jednoduše vezmete hodnoty z kvadratické rovnice z 2. kroku a dosadíte je na patřičná místa ve vzorci.
- x = (-b +/- √(b² - 4ac))/2a. V naší rovnici 2x² - 14 = 0 je a = 2, b = 0 a c = -14.
- x = (-0 +/- √(0² - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- √( 0 - -112))/2(2)
- x = (+/- √(112))/2(2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2.64
4
Proveďte kontrolu zpětným dosazením hodnoty x do kvadratické rovnice. Dosazením spočtené hodnoty x zpět do kvadratické rovnice z 2. kroku jednoduše zjistíte, zda je nalezená odpověď správná. ^{[7]
X
Zroj výzkumu} V tomto případě byste do původní kvadratické rovnice dosazovali jak 2.64, tak -2.64.

Reklama

Tipy

Převod zlomků na ekvivalentní zlomky je v podstatě totéž, jako byste je násobili číslem 1. Při převodu 1/2 na 2/4 je násobení čitatele a jmenovatele číslem 2 to samé, jako násobení zlomku 1/2 zlomkem 2/2, tedy 1.
Pokud chcete, můžete si smíšená čísla převést na nepravé zlomky, čímž si jejich převod zjednodušíte. Samozřejmě ne každý zlomek, se kterým se setkáte, půjde převést tak snadno, jako použitý příklad 4/8. Například smíšená čísla (např. 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 apod.) mohou převod trochu zkomplikovat. Pokud potřebujete smíšené číslo převést na ekvivalentní zlomek, můžete to udělat dvěma způsoby: změnou smíšeného čísla na nepravý zlomek a následovným převodem jak bylo popsáno výše, nebo zachováním smířeného čísla a výpočtem výsledku v podobě smíšeného čísla.
- Pro převod na nepravý zlomek vynásobte celou část smíšeného čísla jmenovatelem lomené části čísla, a poté přičtěte čitatel. Například 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Tento zlomek lze pak již v případě potřeby jakkoliv převést. Například 5/3 × 2/2 = 10/6, což je stále rovno 1 2/3.
- Smíšená čísla nicméně na nepravé zlomky převádět nemusíte. Stačí ignorovat celočíselnou část smíšeného čísla, převést pouze lomenou část, a poté přidat nezměněnou celočíselnou část. Například u čísla 3 4/16 se zaměříme jen na 4/16. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Po přidání celočíselné části zpět získáte nové smíšené číslo 3 1/4.

Reklama

Varování

Násobení a dělení funguje při vytváření ekvivalentních zlomků proto, že násobením lomeným tvarem čísla 1 (2/2, 3/3 apod.) dostáváte logicky výsledky ekvivalentní původnímu zlomku. Sčítání ani odčítání takto však nefunguje.
Ačkoliv lze při násobení zlomků násobit čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem, při sčítání ani odčítání zlomků jmenovatele nesčítáte ani neodčítáte.
- Například jsme dříve zjistili, že 4/8 ÷ 4/4 = 1/2 . Pokud bychom namísto toho přičetli číslo 4/4, dostali bychom zcela odlišný výsledek. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2, neboli 3/2, přičemž ani jedno se nerovná číslu 4/8.

Reklama