Jak nakreslit graf kvadratické rovnice

Spoluautorem článku je Jake Adams

Při sestrojení grafu kvadratické rovnice ve formě ax² + bx + c nebo a(x - h)² + k dostanete hezkou křivku ve tvaru normálního nebo obráceného písmene U, která se nazývá parabola. Znázornění kvadratické rovnice vyžaduje nalezení jejího vrcholu, zjištění směru, a v řadě případů také průniků s osami x a y. V případě jednoduché kvadratické rovnice může postačit i dosadit pár hodnot x a nakreslit křivku na základě výsledných bodů. Pokračujte k prvnímu kroku návodu a začněte.

Postup

1
Zjistěte, jakou formu má vaše kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice může být zapsaná ve třech formách: ve standardním tvaru, vrcholovém tvaru a kvadratickém tvaru. Každou z nich lze využít k sestrojení grafu, postupy se však u každé z forem mírně liší. Pokud řešíte domácí úkol, obvykle budete mít zadání v jednom následujících tvarů (jinak řečeno, nebudete si moci vybrat, takže musíte chápat oba postupy). Dva nejněžnější tvary zadání kvadratické rovnice jsou:
- Standardní tvar. V této podobě je kvadratická rovnice zapsaná jako: f(x) = ax² + bx + c, kde a, b i c jsou reální čísla, přičemž a není rovno 0.
  - Dva příklady kvadratické rovnice mohou vypadat takto: f(x) = x² + 2x + 1, nebo f(x) = 9x² + 10x -8.
- Vrcholový tvar. V této podobě je kvadratická rovnice zapsaná jako: f(x) = a(x - h)² + k, kde a, h i k jsou reálná čísla, přičemž a není rovno 0. Vrcholový tvar se jmenuje vrcholový proto, že vám čísla h a k udávají přímo vrchol (středový bod) paraboly, který leží v bodě (h,k).
  - Dva příklady vrcholové formy rovnice mohou vypadat takto: f(x) = 9(x - 4)² + 18, nebo -3(x - 5)² + 1
- Pro zobrazení každého z těchto typů rovnice musíme nejprve najít parabolu, která je centrálním bodem (h,k) na "špičce" křivky. Souřadnice vrcholu jsou obvykle udány jako: h = -b/2a a k = f(h), přičemž ve vrcholovém tvaru jsou h i k zadány.
2
Definujte neznámé. Aby bylo možné kvadratický příklad vyřešit, musí být obvykle definované neznámé a, b i c (nebo a, h a k). Běžný algebraický příklad bude mít tyto neznámé dosazené obvykle ve standardním tvaru, občas však i v tom vrcholovém.
- Například ve standardním tvaru rovnice f(x) = 2x² +16x + 39 máme a = 2, b = 16 a c = 39.
- Ve vrcholovém tvaru rovnice f(x) = 4(x - 5)² + 12 máme a = 4, h = 5 a k = 12.
3
Spočtěte h. Ve vrcholovém tvaru rovnice je h již zadané, ve standardním tvaru jej však musíte dopočítat. Pamatujte si, že pro standardní tvar rovnice platí h = -b/2a.
- V našem příkladu standardního tvaru (f(x) = 2x² +16x + 39) je tedy h = -b/2a = -16/2(2). Dopočítáním dostaneme h = -4.
- V příkladu s vrcholovým tvarem (f(x) = 4(x - 5)² + 12) víme bez počítání, že h = 5.
4
Spočtěte k. Stejně jako h, i k již ve vrcholovém tvaru známe. Pro standardní tvar rovnice si pamatujte, že k = f(h). Jinými slovy, k zjistíte tak, že za každé x v rovnici dosadíte nalezenou hodnotu h.
- V příkladu se standardním tvarem rovnice jsme zjistili, že h = -4. K nalezení k je třeba vyřešit rovnici s hodnotou h dosazenou za x:
  - k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  - k = 2(16) - 64 + 39.
  - k = 32 - 64 + 39 = 7
- U příkladu s vrcholovým tvarem rovnice pak opět bez počítání víme, že je hodnota k rovna 12.
5
Sestrojte vrchol. Vrchol paraboly bude v bodě (h, k) - h udává souřadnici x, k pak souřadnici y. Vrchol je centrálním bodem paraboly – buďto je zcela dole u "U", nebo úplně nahoře u obráceného "U." Znalost vrcholu je při přesném sestrojování paraboly zcela zásadní – ve školních cvičeních bude často nalezení vrcholu jednou z částí zadání.
- V příkladu se standardním tvarem rovnice bude vrchol v bodě (-4,7). Parabola tedy bude vrcholit 4 pole nalevo od 0 a 7 polí nad bodem (0,0). Tento bod si tedy zaznačíme do grafu, a to včetně označení souřadnic.
- V příkladu s vrcholovým tvarem rovnice bude vrchol v bodě (5,12). Musíme proto vyznačit bod 5 polí napravo a 12 polí nad (0,0).
6
Nakreslete si osy paraboly (volitelně). Osa souměrnosti paraboly je čára procházející jejím středem, která dělí parabolu na dokonale stejné poloviny. Přes tuto osu bude levá strana paraboly zrcadlit pravou stranu. U kvadratické rovnice ve formě ax² + bx + c nebo a(x - h)² + k je osou čára rovnoběžná s osou y (jinak řečeno, dokonale svislá čára) procházející vrcholem.
- U příkladu se standardním tvarem rovnice je osa rovnoběžná s osou y a prochází bodem (-4, 7). Ačkoliv není osa součást samotné paraboly, když si ji do grafu lehce naznačíte, může vám pomoci sledovat symetrické zakřivení paraboly.
7
Zjistěte směr, kterým se parabola otevírá. Když jste určili vrchol a osu paraboly, budete potřebovat zjistit, jako další musíte zjistit, zda se parabola otevírá směrem dolů nebo nahoru. To je naštěstí snadné. Je-li "a" kladné, parabola se otvírá nahoru, je-li naopak "a" záporné, otevírá se parabola dolů (tzn. je otočená vzhůru nohama).
- V našem příkladu standardního tvaru (f(x) = 2x² +16x + 39) vidíme, že se parabola otvírá směrem nahoru, protože je a = 2 (kladné).
- V příkladu s vrcholovým tvarem rovnice (f(x) = 4(x - 5)² + 12) vidíme, že se parabola otevírá také vzhůru, protože je a = 4 (rovněž kladné).
8
Je-li třeba, zakreslete si průniky s osou x. Ve školních úlohách budete mít často za úkol najít průniky paraboly s osou x (což jsou jeden nebo dva dva body, v nichž parabola prochází osou x). A i když je najít nemusíte, mohou být tyto body neocenitelné pro správné sestrojení paraboly. Ne všechny paraboly však průniky s osou x mají. Pokud se parabola otevírá směrem vzhůru a má vrchol nad osou x, nebo se otvírá dolů a má vrchol pod osou x, pak žádný průnik s osou x nemá. V ostatních případech můžete průniky najít pomocí jedné z následujících metod:
- Jednoduše položte f(x) = 0 a vyřešte rovnici. Tato metoda může být vhodná pro řešení jednoduchých kvadratických rovnic, zvláště pak ve vrcholovém tvaru. Při řešení složitějších rovnic se však projeví jako mimořádně složitá. Vizte příklad níže:
  - f(x) = 4(x - 12)² - 4
  - 0 = 4(x - 12)² - 4
  - 4 = 4(x - 12)²
  - 1 = (x - 12)²
  - SqRt(1) = (x - 12)
  - +/- 1 = x -12. x = 11 a 13 jsou průniky paraboly s osou x.
- Rovnici rozložte. Některé rovnice ve tvaru ax² + bx + c lze jednoduše rozložit do formy (dx + e)(fx +g), kde dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx a e × g = c. V tom případě jsou průniky hodnoty x, pro které platí, že je každý výraz v závorce = 0. Například:
  - x² + 2x + 1
  - = (x + 1)(x + 1)
  - V tomto případě je jediný průnik s osou x v bodě -1, jelikož právě položením x rovno -1 bude každý z rozložených výrazů v závorkách roven 0.
- Využijte vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Pokud nelze průniky s osou x vyřešit jednoduše ani rozkladem, použijte speciálně pro tento účel vytvořenou rovnici - vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Pokud rovnici nemáte ve tvaru ax² + bx + c, převeďte ji do něj. Poté dosaďte a, b a c do vzorce x = (-b +/- SqRt(b² - 4ac))/2a. Pamatujte, že takto často dostanete dva výsledky x, což je v pořádku. Znamená to, jen, že má parabola dva průniky s osou x. Vizte příklad níže:
  - -5x² + 1x + 10 dosadíme do vzorce pro výpočet kořenů následujícím způsobem:
  - x = (-1 +/- SqRt(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  - x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
  - x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
  - x = (-1 +/- 14.18)/-10
  - x = (13.18/-10) a (-15.18/-10). Průniky paraboly s osou x jsou tedy zhruba v x = -1.318 a 1.518
  - Náš předešlý příklad rovnice ve standardním tvaru (2x² + 16x + 39) dosadíme do vzorce následujícím způsobem:
  - x = (-16 +/- SqRt(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  - x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
  - x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
  - Protože odmocnina (SqRt) ze záporného čísla neexistuje, víme, že tato konkrétní parabola nemá žádný průnik s osou x.
9
Je-li třeba, najděte a zaznačte průniky s osou y. Ačkoliv najít průniky rovnice s osou y (bod, ve kterém parabola prochází přes osu y) obvykle není nutné, může to být po vás požadováno – zvláště ve škole. Postup nalezení průniků s y je vcelku snadný – stačí položit x = 0 a rovnici vyřešit, abyste dostali f(x) čili y. Tím získáte hodnotu y, ve které parabola prochází osou y. Na rozdíl od průniků s osou x může mít standardní parabola s osou y pouze jediný průnik. Poznámka – ve standardním tvaru rovnice je průnik s osou y v bodě y = c.
- Například víme, že naše kvadratická rovnice 2x² + 16x + 39 má průnik s osou y v y = 39. Najít jej můžeme následujícím způsobem:
  - f(x) = 2x² + 16x + 39
  - f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39
  - f(x) = 39. Parabola prochází osou y v y = 39. Jak bylo řečeno výše, průnik s osou y je tedy v y = c.
- Průnik naší rovnice ve vrcholovém tvaru 4(x - 5)² + 12 s osou y lze najít následujícím způsobem:
  - f(x) = 4(x - 5)² + 12
  - f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  - f(x) = 4(-5)² + 12
  - f(x) = 4(25) + 12
  - f(x) = 112. Parabola prochází osou y v y = 112.
10
Je-li třeba, vyznačte si další body, a poté sestrojte graf. Nyní byste měli u rovnice znát vrchol, směr, průnik(y) s osou x, a nejspíše také průnik s osou y. V tuto chvíli se můžete buďto pokusit parabolu nakreslit s využitím bodů, které znáte a které vás povedou, nebo můžete najít další body tak, aby parabolu "vyplnily" a nakreslená křivka byla přesnější. Nejjednodušším způsobem, jak toho dosáhnout, je dosadit několik hodnot x z obou stran od vrcholu, a tyto body následně zaznačit s pomocí získané hodnoty y. Učitelé budou často trvat na tom, abyste před sestrojením paraboly znali jistý počet bodů.
- Vraťme se k rovnici x² + 2x + 1. Už víme, že její jediný průnik s osou x leží v x = -1. Protože se rovnice pouze dotýká osy x v jediném bodě, můžeme soudit, že jejím vrcholem je právě tento bod dotyku. Vrchol tedy leží v (-1,0). Známe tedy fakticky pouze jediný bod paraboly – což pro kvalitní sestrojení paraboly zdaleka nestačí. Pojďme tedy najít několik dalších bodů, které nám pomohou nakreslit přesný graf.
  - Najděme hodnoty y pro následující x: 0, 1, -2 a -3.
  - Pro 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Bod leží v (0,1).
  - Pro 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Bod leží v (1,4).
  - Pro -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Bod leží v (-2,1).
  - Pro -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Bod leží v (-3,4).
  - Zaneste tyto body do grafu a nakreslete křivku ve tvaru písmene U. Pamatujte, že parabola je dokonale symetrická – pokud leží body na jedné straně v celých číslech, můžete si ušetřit práci a přenést je zrcadlově přes osu souměrnosti paraboly. Tak najdete odpovídající bod na protější straně paraboly.
Reklama

Tipy

Čísla zaokrouhlujte, nebo používejte zlomky podle toho, co vám řekne učitel matematiky. Díky tomu budete schopny kvadratickou rovnici vykreslit správně.
Pamatujte: pokud se ve vzorci f(x) = ax² + bx + c b nebo c rovná 0, tato čísla z rovnice zmizí. Například ze 12x² + 0x + 6 se stane 12x² + 6, protože 0x je 0.

Reklama