Jak nakreslit graf kvadratické rovnice

Při sestrojení grafu kvadratické rovnice ve formě ax2 + bx + c nebo a(x - h)2 + k dostanete hezkou křivku ve tvaru normálního nebo obráceného písmene U, která se nazývá parabola. Znázornění kvadratické rovnice vyžaduje nalezení jejího vrcholu, zjištění směru, a v řadě případů také průniků s osami x a y. V případě jednoduché kvadratické rovnice může postačit i dosadit pár hodnot x a nakreslit křivku na základě výsledných bodů. Pokračujte k prvnímu kroku návodu a začněte.

Postup

  1. 1
    Zjistěte, jakou formu má vaše kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice může být zapsaná ve třech formách: ve standardním tvaru, vrcholovém tvaru a kvadratickém tvaru. Každou z nich lze využít k sestrojení grafu, postupy se však u každé z forem mírně liší. Pokud řešíte domácí úkol, obvykle budete mít zadání v jednom následujících tvarů (jinak řečeno, nebudete si moci vybrat, takže musíte chápat oba postupy). Dva nejněžnější tvary zadání kvadratické rovnice jsou:
    • Standardní tvar. V této podobě je kvadratická rovnice zapsaná jako: f(x) = ax2 + bx + c, kde a, b i c jsou reální čísla, přičemž a není rovno 0.
      • Dva příklady kvadratické rovnice mohou vypadat takto: f(x) = x2 + 2x + 1, nebo f(x) = 9x2 + 10x -8.
    • Vrcholový tvar. V této podobě je kvadratická rovnice zapsaná jako: f(x) = a(x - h)2 + k, kde a, h i k jsou reálná čísla, přičemž a není rovno 0. Vrcholový tvar se jmenuje vrcholový proto, že vám čísla h a k udávají přímo vrchol (středový bod) paraboly, který leží v bodě (h,k).
      • Dva příklady vrcholové formy rovnice mohou vypadat takto: f(x) = 9(x - 4)2 + 18, nebo -3(x - 5)2 + 1
    • Pro zobrazení každého z těchto typů rovnice musíme nejprve najít parabolu, která je centrálním bodem (h,k) na "špičce" křivky. Souřadnice vrcholu jsou obvykle udány jako: h = -b/2a a k = f(h), přičemž ve vrcholovém tvaru jsou h i k zadány.
  2. 2
    Definujte neznámé. Aby bylo možné kvadratický příklad vyřešit, musí být obvykle definované neznámé a, b i c (nebo a, h a k). Běžný algebraický příklad bude mít tyto neznámé dosazené obvykle ve standardním tvaru, občas však i v tom vrcholovém.
    • Například ve standardním tvaru rovnice f(x) = 2x2 +16x + 39 máme a = 2, b = 16 a c = 39.
    • Ve vrcholovém tvaru rovnice f(x) = 4(x - 5)2 + 12 máme a = 4, h = 5 a k = 12.
  3. 3
    Spočtěte h. Ve vrcholovém tvaru rovnice je h již zadané, ve standardním tvaru jej však musíte dopočítat. Pamatujte si, že pro standardní tvar rovnice platí h = -b/2a.
    • V našem příkladu standardního tvaru (f(x) = 2x2 +16x + 39) je tedy h = -b/2a = -16/2(2). Dopočítáním dostaneme h = -4.
    • V příkladu s vrcholovým tvarem (f(x) = 4(x - 5)2 + 12) víme bez počítání, že h = 5.
  4. 4
    Spočtěte k. Stejně jako h, i k již ve vrcholovém tvaru známe. Pro standardní tvar rovnice si pamatujte, že k = f(h). Jinými slovy, k zjistíte tak, že za každé x v rovnici dosadíte nalezenou hodnotu h.
    • V příkladu se standardním tvarem rovnice jsme zjistili, že h = -4. K nalezení k je třeba vyřešit rovnici s hodnotou h dosazenou za x:
      • k = 2(-4)2 + 16(-4) + 39.
      • k = 2(16) - 64 + 39.
      • k = 32 - 64 + 39 = 7
    • U příkladu s vrcholovým tvarem rovnice pak opět bez počítání víme, že je hodnota k rovna 12.
  5. 5
    Sestrojte vrchol. Vrchol paraboly bude v bodě (h, k) - h udává souřadnici x, k pak souřadnici y. Vrchol je centrálním bodem paraboly – buďto je zcela dole u "U", nebo úplně nahoře u obráceného "U." Znalost vrcholu je při přesném sestrojování paraboly zcela zásadní – ve školních cvičeních bude často nalezení vrcholu jednou z částí zadání.
    • V příkladu se standardním tvarem rovnice bude vrchol v bodě (-4,7). Parabola tedy bude vrcholit 4 pole nalevo od 0 a 7 polí nad bodem (0,0). Tento bod si tedy zaznačíme do grafu, a to včetně označení souřadnic.
    • V příkladu s vrcholovým tvarem rovnice bude vrchol v bodě (5,12). Musíme proto vyznačit bod 5 polí napravo a 12 polí nad (0,0).
  6. 6
    Nakreslete si osy paraboly (volitelně). Osa souměrnosti paraboly je čára procházející jejím středem, která dělí parabolu na dokonale stejné poloviny. Přes tuto osu bude levá strana paraboly zrcadlit pravou stranu. U kvadratické rovnice ve formě ax2 + bx + c nebo a(x - h)2 + k je osou čára rovnoběžná s osou y (jinak řečeno, dokonale svislá čára) procházející vrcholem.
    • U příkladu se standardním tvarem rovnice je osa rovnoběžná s osou y a prochází bodem (-4, 7). Ačkoliv není osa součást samotné paraboly, když si ji do grafu lehce naznačíte, může vám pomoci sledovat symetrické zakřivení paraboly.
  7. 7
    Zjistěte směr, kterým se parabola otevírá. Když jste určili vrchol a osu paraboly, budete potřebovat zjistit, jako další musíte zjistit, zda se parabola otevírá směrem dolů nebo nahoru. To je naštěstí snadné. Je-li "a" kladné, parabola se otvírá nahoru, je-li naopak "a" záporné, otevírá se parabola dolů (tzn. je otočená vzhůru nohama).
    • V našem příkladu standardního tvaru (f(x) = 2x2 +16x + 39) vidíme, že se parabola otvírá směrem nahoru, protože je a = 2 (kladné).
    • V příkladu s vrcholovým tvarem rovnice (f(x) = 4(x - 5)2 + 12) vidíme, že se parabola otevírá také vzhůru, protože je a = 4 (rovněž kladné).
  8. 8
    Je-li třeba, zakreslete si průniky s osou x. Ve školních úlohách budete mít často za úkol najít průniky paraboly s osou x (což jsou jeden nebo dva dva body, v nichž parabola prochází osou x). A i když je najít nemusíte, mohou být tyto body neocenitelné pro správné sestrojení paraboly. Ne všechny paraboly však průniky s osou x mají. Pokud se parabola otevírá směrem vzhůru a má vrchol nad osou x, nebo se otvírá dolů a má vrchol pod osou x, pak žádný průnik s osou x nemá. V ostatních případech můžete průniky najít pomocí jedné z následujících metod:
    • Jednoduše položte f(x) = 0 a vyřešte rovnici. Tato metoda může být vhodná pro řešení jednoduchých kvadratických rovnic, zvláště pak ve vrcholovém tvaru. Při řešení složitějších rovnic se však projeví jako mimořádně složitá. Vizte příklad níže:
      • f(x) = 4(x - 12)2 - 4
      • 0 = 4(x - 12)2 - 4
      • 4 = 4(x - 12)2
      • 1 = (x - 12)2
      • SqRt(1) = (x - 12)
      • +/- 1 = x -12. x = 11 a 13 jsou průniky paraboly s osou x.
    • Rovnici rozložte. Některé rovnice ve tvaru ax2 + bx + c lze jednoduše rozložit do formy (dx + e)(fx +g), kde dx × fx = ax2, (dx × g + fx × e) = bx a e × g = c. V tom případě jsou průniky hodnoty x, pro které platí, že je každý výraz v závorce = 0. Například:
      • x2 + 2x + 1
      • = (x + 1)(x + 1)
      • V tomto případě je jediný průnik s osou x v bodě -1, jelikož právě položením x rovno -1 bude každý z rozložených výrazů v závorkách roven 0.
    • Využijte vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Pokud nelze průniky s osou x vyřešit jednoduše ani rozkladem, použijte speciálně pro tento účel vytvořenou rovnici - vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Pokud rovnici nemáte ve tvaru ax2 + bx + c, převeďte ji do něj. Poté dosaďte a, b a c do vzorce x = (-b +/- SqRt(b2 - 4ac))/2a. Pamatujte, že takto často dostanete dva výsledky x, což je v pořádku. Znamená to, jen, že má parabola dva průniky s osou x. Vizte příklad níže:
      • -5x2 + 1x + 10 dosadíme do vzorce pro výpočet kořenů následujícím způsobem:
      • x = (-1 +/- SqRt(12 - 4(-5)(10)))/2(-5)
      • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
      • x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
      • x = (-1 +/- 14.18)/-10
      • x = (13.18/-10) a (-15.18/-10). Průniky paraboly s osou x jsou tedy zhruba v x = -1.318 a 1.518
      • Náš předešlý příklad rovnice ve standardním tvaru (2x2 + 16x + 39) dosadíme do vzorce následujícím způsobem:
      • x = (-16 +/- SqRt(162 - 4(2)(39)))/2(2)
      • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
      • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
      • Protože odmocnina (SqRt) ze záporného čísla neexistuje, víme, že tato konkrétní parabola nemá žádný průnik s osou x.
  9. 9
    Je-li třeba, najděte a zaznačte průniky s osou y. Ačkoliv najít průniky rovnice s osou y (bod, ve kterém parabola prochází přes osu y) obvykle není nutné, může to být po vás požadováno – zvláště ve škole. Postup nalezení průniků s y je vcelku snadný – stačí položit x = 0 a rovnici vyřešit, abyste dostali f(x) čili y. Tím získáte hodnotu y, ve které parabola prochází osou y. Na rozdíl od průniků s osou x může mít standardní parabola s osou y pouze jediný průnik. Poznámka – ve standardním tvaru rovnice je průnik s osou y v bodě y = c.
    • Například víme, že naše kvadratická rovnice 2x2 + 16x + 39 má průnik s osou y v y = 39. Najít jej můžeme následujícím způsobem:
      • f(x) = 2x2 + 16x + 39
      • f(x) = 2(0)2 + 16(0) + 39
      • f(x) = 39. Parabola prochází osou y v y = 39. Jak bylo řečeno výše, průnik s osou y je tedy v y = c.
    • Průnik naší rovnice ve vrcholovém tvaru 4(x - 5)2 + 12 s osou y lze najít následujícím způsobem:
      • f(x) = 4(x - 5)2 + 12
      • f(x) = 4(0 - 5)2 + 12
      • f(x) = 4(-5)2 + 12
      • f(x) = 4(25) + 12
      • f(x) = 112. Parabola prochází osou y v y = 112.
  10. 10
    Je-li třeba, vyznačte si další body, a poté sestrojte graf. Nyní byste měli u rovnice znát vrchol, směr, průnik(y) s osou x, a nejspíše také průnik s osou y. V tuto chvíli se můžete buďto pokusit parabolu nakreslit s využitím bodů, které znáte a které vás povedou, nebo můžete najít další body tak, aby parabolu "vyplnily" a nakreslená křivka byla přesnější. Nejjednodušším způsobem, jak toho dosáhnout, je dosadit několik hodnot x z obou stran od vrcholu, a tyto body následně zaznačit s pomocí získané hodnoty y. Učitelé budou často trvat na tom, abyste před sestrojením paraboly znali jistý počet bodů.
    • Vraťme se k rovnici x2 + 2x + 1. Už víme, že její jediný průnik s osou x leží v x = -1. Protože se rovnice pouze dotýká osy x v jediném bodě, můžeme soudit, že jejím vrcholem je právě tento bod dotyku. Vrchol tedy leží v (-1,0). Známe tedy fakticky pouze jediný bod paraboly – což pro kvalitní sestrojení paraboly zdaleka nestačí. Pojďme tedy najít několik dalších bodů, které nám pomohou nakreslit přesný graf.
      • Najděme hodnoty y pro následující x: 0, 1, -2 a -3.
      • Pro 0: f(x) = (0)2 + 2(0) + 1 = 1. Bod leží v (0,1).
      • Pro 1: f(x) = (1)2 + 2(1) + 1 = 4. Bod leží v (1,4).
      • Pro -2: f(x) = (-2)2 + 2(-2) + 1 = 1. Bod leží v (-2,1).
      • Pro -3: f(x) = (-3)2 + 2(-3) + 1 = 4. Bod leží v (-3,4).
      • Zaneste tyto body do grafu a nakreslete křivku ve tvaru písmene U. Pamatujte, že parabola je dokonale symetrická – pokud leží body na jedné straně v celých číslech, můžete si ušetřit práci a přenést je zrcadlově přes osu souměrnosti paraboly. Tak najdete odpovídající bod na protější straně paraboly.

Tipy

  • Čísla zaokrouhlujte, nebo používejte zlomky podle toho, co vám řekne učitel matematiky. Díky tomu budete schopny kvadratickou rovnici vykreslit správně.
  • Pamatujte: pokud se ve vzorci f(x) = ax2 + bx + c b nebo c rovná 0, tato čísla z rovnice zmizí. Například ze 12x2 + 0x + 6 se stane 12x2 + 6, protože 0x je 0.

Informace o článku

Kategorie: Vzdělání a Komunikace

V jiných jazycích:

English: Graph a Quadratic Equation, Español: graficar una ecuación cuadrática, Português: Fazer o Gráfico de uma Equação Quadrática, Italiano: Rappresentare Graficamente un’Equazione Quadratica, Deutsch: Eine quadratische Gleichung grafisch darstellen, 中文: 用图示展示一个二元一次方程, Русский: сделать график квадратного уравнения, Français: représenter graphiquement une équation du second degré, Nederlands: Een grafiek van een functie maken, Bahasa Indonesia: Menggambar Grafik Kuadrat, 한국어: 이차방정식의 그래프 그리는 방법

Stránka byla zobrazena 786 krát.

Byl tento článek přesný?