Jak používat Pythagorovu větu

2 Metody:Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníkuVýpočet vzdálenosti dvou bodů v souřadnicové soustavě X Y

Pythagorova věta popisuje délky stran pravoúhlého trojúhelníku tak elegantním a praktickým způsobem, že se dodnes stále hojně používá. Věta říká, že pro jakýkoliv pravoúhlý trojúhelník platí, že se součet čtverců nad odvěsnami rovná čtverci nad přeponou. Jinými slovy, pro trojúhelník s kolmými stranami délek a a b a přeponou délky c platí: a2 + b2 = c2. Pythagorova věta je jedním z nejdůležitějších pilířů základní geometrie a lze ji využít v nespočtu aplikací – například s ní lze jednoduše zjistit vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic.

1
Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníku

  1. to Jak používat Pythagorovu větu
    1
    Ověřte, že je trojúhelník pravoúhlý. Pythagorovu větu lze použít pouze s pravoúhlým trojúhelníkem, takže než postoupíte dále, je nutné ověřit, že váš trojúhelník splňuje definici pravoúhlého trojúhelníku. Naštěstí k tomu musí splnit jediný nutný požadavek – aby byl pravoúhlý, musí mít trojúhelník jeden úhel o velikosti přesně 90°.
    • Pro zkrácení zápisu se pravé úhly často značí malým čtvercem, který nahrazuje zakulacený „oblouček“, aby je bylo možné snadno rozpoznat. Podívejte se, zda tuto značku v trojúhelníku najdete.
  2. to Jak používat Pythagorovu větu
    2
    Přiřaďte stranám trojúhelníku neznámé a, b a c. V Pythagorově odpovídají neznámé a a b stranám trojúhelníku, mezi nimiž leží pravý úhel (odvěsnám), zatímco neznámá c odpovídá přeponě – nejdelší straně trojúhelníku, která je vždy proti pravému úhlu. Začněte tedy tím, že kratším stranám trojúhelníku přiřadíte neznámé a a b (je jedno, která ze stran je a nebo b) a neznámou c přeponě.
  3. to Jak používat Pythagorovu větu
    3
    Určete, které strany trojúhelníku hledáte. Pythagorova věta umožňuje matematikům určit délku kterékoliv jedné strany trojúhelníku, pokud znají délky zbývajících dvou stran. Určete, kterou z délek stran neznáte - a, b a/nebo c. Je-li neznámou délka jedné ze stran, můžete pokračovat dále.
    • Řekněme například, že máme přeponu délky 5 a jednu ze stran délky 3, neznáme však délku třetí strany. Hledáme tedy délku této třetí strany, a protože známe délky zbývajících dvou stran, můžeme začít! V dalších krocích se k tomuto zadání příkladu budeme vracet.
    • Pokud neznáte délku dvou stran, musíte před použitím Pythagorovy věty určit délku alespoň jedné z nich. Pokud znáte jeden z nepravých úhlů trojúhelníku, můžete se opřít o základní trigonometrické výpočty.
  4. to Jak používat Pythagorovu větu
    4
    Dosaďte do rovnice dvě známé hodnoty. Vložte hodnoty délek stran trojúhelníku do rovnice a2 + b2 = c2. Pamatujte, že strany a a b jsou odvěsny a strana c je přepona.
    • V našem příkladě známe délku jedné strany a přepony (3 & 5), takže můžeme rovnici zapsat jako 3² + b² = 5²
  5. to Jak používat Pythagorovu větu
    5
    Vypočítejte druhé mocniny. Při řešení rovnice začněte s umocňováním každé známé strany na druhou. Pokud vám však přijde snazší nechat délky stran v exponenciální podobě, můžete je umocnit i později.
    • V našem příkladu umocněním na druhou čísel 3 a 5 dostaneme popořadě 9 a 25. Můžeme tedy rovnice přepsat jako 9 + b² = 25.
  6. to Jak používat Pythagorovu větu
    6
    Neznámou si osamostatněte na jedné straně znaménka =. Je-li třeba, přesuňte pomocí základních početních úkonů proměnnou na jednu stranu znaménka =, a obě druhé mocniny na stranu druhou. Pokud hledáte délku přepony, neznámou c již máte na jedné straně, takže nemusíte nic osamostatňovat.
    • V našem příkladě vypadá aktuální stav rovnice takto: 9 + b² = 25. K osamostatnění b² odečteme od obou stran rovnice číslo 9. Tím dostaneme b² = 16.
  7. to Jak používat Pythagorovu větu
    7
    Obě strany rovnice odmocněte. Nyní byste měli mít na jedné straně druhou mocninu neznámé, zatímco na druhé straně je číslo. Jednoduše obě strany odmocněte, čímž dostanete délku neznámé strany.
    • V našem příkladě b² = 16, takže odmocněním obou stran dostaneme b = 4. Můžeme tedy říct, že je hledaná délka neznámé strany trojúhelníku rovna 4.
  8. 8
    Použijte Pythagorovu větu k výpočtu stran skutečných pravoúhlých trojúhelníků. Důvodem, proč je Pythagorova věta tak hojně využívána, je to, že ji lze využít v celé řadě praktických situací. Naučte se rozpoznávat pravoúhlé trojúhelníky v reálném světě. Kdykoliv se dva rovné předměty nebo čáry protínají a tvoří pravý úhel, zatímco třetí strana nebo předmět tvoří nad pravým úhlem diagonálu, můžete použít ke zjištění délky kterékoliv z těchto stran Pythagorovu větu (za předpokladu, že znáte zbylé dvě délky).
    • Pojďme si to vyzkoušet na praktickém příkladu, který je o něco složitější. O budovu je opřený žebřík. Základna žebříku je 5 m od paty zdi. Žebřík dosahuje do 20 m výšky zdi budovy. Jak dlouhý žebřík je?
      • "5 metrů od paty zdi” a "20 metrů vysoko” nám napovídá, jaké délky mají strany našeho trojúhelníku. Protože zeď (pravděpodobně) tvoří se zdí pravý úhel a žebřík vede šikmo ke zdi, můžeme si tuto situaci představit jako pravoúhlý trojúhelník se stranami délky a = 5 a b = 20. Délka žebříku je rovna délce přepony, hledáme tudíž c. Použijme tedy Pythagorovu větu:
        • a² + b² = c²
        • (5)² + (20)² = c²
        • 25 + 400 = c²
        • 425 = c²
        • sqrt(425) = c
        • c = 20.6 . Přibližná délka žebříku je 20,6 m.

2
Výpočet vzdálenosti dvou bodů v souřadnicové soustavě X Y

  1. to Jak používat Pythagorovu větu
    1
    Definujte si na soustavě souřadnic X Y dva body. Pythagorovu větu lze jednoduše použít k výpočtu přímé vzdálenosti dvou bodů v souřadnicové soustavě. Stačí vám přitom znáte souřadnice x a y obou bodů Tyto souřadnice se obvykle zapisují jako dvojice čísel v podobě (x, y).
    • Ke zjištění vzdálenosti dvou bodů budeme s každým z nich zacházet, jako by šlo o jeden z vrcholů, kterým nenáleží pravý úhel. Tak totiž jednoduše zjistíme délky odvěsen a a b, z nichž pak spočteme délku přepony c. Ta je zároveň vzdáleností dvou bodů.
  2. to Jak používat Pythagorovu větu
    2
    Zaneste si tyto dva body do grafu. Na standardním grafu v kartézském souřadnicovém systému udávají souřadnice bodu (x,y) následující: x je souřadnicí na vodorovné ose, y pak souřadnicí na svislé ose. Vzdálenost dvou bodů lze zjistit i bez zanášení do grafu, takto však získáte názorný pohled a zjistíte, jestli váš výsledek dává smysl.
  3. to Jak používat Pythagorovu větu
    3
    Zjistěte délky odvěsen. Vezměte své dva body za vrcholy náležící přeponě trojúhelníku a zjistěte délky stran a a b. Můžete to provést graficky, nebo s pomocí vzorce |x1 - x2| pro vodorovnou stranu a |y1 - y2| pro svislou stranu, kde (x1,y1) představuje první bod a (x2,y2) druhý bod.
    • Řekněme, že jsou našimi dvěma body tyto: (6,1) a (3,5). Délka horizontální odvěsny trojúhelníku je rovna:
      • |x1 - x2|
      • |3 - 6|
      • | -3 | = 3
    • Délka vertikální odvěsny je rovna:
      • |y1 - y2|
      • |1 - 5|
      • | -4 | = 4
    • Můžeme tedy říci, že má náš trojúhelník strany a = 3 a b = 4.
  4. to Jak používat Pythagorovu větu
    4
    Spočtěte délku přepony pomocí Pythagorovy věty. Vzdálenost dvou bodů je rovna přeponě trojúhelníku, jehož dvě strany jste právě určili. Použijte tedy standardním způsobem Pythagorovu větu, přičemž za a dosaďte délku první strany a za b délku strany druhé.
    • V našem příkladu s body (3,5) a (6,1) máme délky stran 3 a 4, takže bychom spočetli délku přepony následovně:
      • (3)²+(4)²= c²
        c= sqrt (9+16)
        c= sqrt (25)
        c= 5. Vzdálenost bodů (3,5) a (6,1) je rovna 5.

Tipy

  • Pro přeponu platí:
    • vždy překlenuje pravý úhel (nedotýká se jej)
    • je nejdelší stranou trojúhelníku
    • v Pythagorově větě je značena c
  • sqrt(x) je zkratka pro "odmocninu z x".
  • Nezapomeňte si vždy výpočty zkontrolovat. Pokud se vám výsledek nezdá, zkuste jej spočítat znovu.
  • Další kontrola – nejdelší strana musí ležet proti největšímu úhlu, nejkratší strana proti nejmenšímu úhlu.
  • Pokud není trojúhelník pravoúhlý, budete potřebovat znát více než jen délku dvou stran.
  • Klíčem ke správnému přiřazení hodnot a, b a c je náčrtek. Pokud pracujete se slovní úlohou, vždy si nejprve udělejte náčrtek.
  • Pokud znáte pouze délku jedné strany, s Pythagorovou větou nepochodíte. Zkuste použít trigonometrické funkce (sin, cos, tan) nebo poměry 30-60-90 / 45-45-90.

Informace o článku

Kategorie: Vzdělání a Komunikace

V jiných jazycích:

English: Use the Pythagorean Theorem, Español: usar el teorema de pitágoras, Italiano: Usare il Teorema di Pitagora, Português: Usar o Teorema de Pitágoras, Deutsch: Den Satz des Pythagoras benutzen, Français: appliquer le théorème de Pythagore, Русский: применять теорему Пифагора, 中文: 使用勾股定理, Nederlands: De stelling van Pythagoras gebruiken, Bahasa Indonesia: Menggunakan Teorema Pythagoras, हिन्दी: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें, Tiếng Việt: Sử dụng Định lý Pytago, ไทย: ใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัส, 한국어: 피타고라스의 정리 사용하는 법

Stránka byla zobrazena 1 067 krát.

Byl tento článek přesný?