Jak používat Pythagorovu větu

Pythagorova věta popisuje délky stran pravoúhlého trojúhelníku tak elegantním a praktickým způsobem, že se dodnes stále hojně používá. Věta říká, že pro jakýkoliv pravoúhlý trojúhelník platí, že se součet čtverců nad odvěsnami rovná čtverci nad přeponou. Jinými slovy, pro trojúhelník s kolmými stranami délek a a b a přeponou délky c platí: a² + b² = c². Pythagorova věta je jedním z nejdůležitějších pilířů základní geometrie a lze ji využít v nespočtu aplikací – například s ní lze jednoduše zjistit vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic.

Metoda 1

Metoda 1 ze 2:

Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníku

1
Ověřte, že je trojúhelník pravoúhlý. Pythagorovu větu lze použít pouze s pravoúhlým trojúhelníkem, takže než postoupíte dále, je nutné ověřit, že váš trojúhelník splňuje definici pravoúhlého trojúhelníku. Naštěstí k tomu musí splnit jediný nutný požadavek – aby byl pravoúhlý, musí mít trojúhelník jeden úhel o velikosti přesně 90°.
- Pro zkrácení zápisu se pravé úhly často značí malým čtvercem, který nahrazuje zakulacený „oblouček“, aby je bylo možné snadno rozpoznat. Podívejte se, zda tuto značku v trojúhelníku najdete.
2
Přiřaďte stranám trojúhelníku neznámé a, b a c. V Pythagorově odpovídají neznámé a a b stranám trojúhelníku, mezi nimiž leží pravý úhel (odvěsnám), zatímco neznámá c odpovídá přeponě – nejdelší straně trojúhelníku, která je vždy proti pravému úhlu. Začněte tedy tím, že kratším stranám trojúhelníku přiřadíte neznámé a a b (je jedno, která ze stran je a nebo b) a neznámou c přeponě.
3
Určete, které strany trojúhelníku hledáte. Pythagorova věta umožňuje matematikům určit délku kterékoliv jedné strany trojúhelníku, pokud znají délky zbývajících dvou stran. Určete, kterou z délek stran neznáte - a, b a/nebo c. Je-li neznámou délka jedné ze stran, můžete pokračovat dále.
- Řekněme například, že máme přeponu délky 5 a jednu ze stran délky 3, neznáme však délku třetí strany. Hledáme tedy délku této třetí strany, a protože známe délky zbývajících dvou stran, můžeme začít! V dalších krocích se k tomuto zadání příkladu budeme vracet.
- Pokud neznáte délku dvou stran, musíte před použitím Pythagorovy věty určit délku alespoň jedné z nich. Pokud znáte jeden z nepravých úhlů trojúhelníku, můžete se opřít o základní trigonometrické výpočty.
4
Dosaďte do rovnice dvě známé hodnoty. Vložte hodnoty délek stran trojúhelníku do rovnice a² + b² = c². Pamatujte, že strany a a b jsou odvěsny a strana c je přepona.
- V našem příkladě známe délku jedné strany a přepony (3 & 5), takže můžeme rovnici zapsat jako 3² + b² = 5²
5
Vypočítejte druhé mocniny. Při řešení rovnice začněte s umocňováním každé známé strany na druhou. Pokud vám však přijde snazší nechat délky stran v exponenciální podobě, můžete je umocnit i později.
- V našem příkladu umocněním na druhou čísel 3 a 5 dostaneme popořadě 9 a 25. Můžeme tedy rovnice přepsat jako 9 + b² = 25.
6
Neznámou si osamostatněte na jedné straně znaménka =. Je-li třeba, přesuňte pomocí základních početních úkonů proměnnou na jednu stranu znaménka =, a obě druhé mocniny na stranu druhou. Pokud hledáte délku přepony, neznámou c již máte na jedné straně, takže nemusíte nic osamostatňovat.
- V našem příkladě vypadá aktuální stav rovnice takto: 9 + b² = 25. K osamostatnění b² odečteme od obou stran rovnice číslo 9. Tím dostaneme b² = 16.
7
Obě strany rovnice odmocněte. Nyní byste měli mít na jedné straně druhou mocninu neznámé, zatímco na druhé straně je číslo. Jednoduše obě strany odmocněte, čímž dostanete délku neznámé strany.
- V našem příkladě b² = 16, takže odmocněním obou stran dostaneme b = 4. Můžeme tedy říct, že je hledaná délka neznámé strany trojúhelníku rovna 4.
8
Použijte Pythagorovu větu k výpočtu stran skutečných pravoúhlých trojúhelníků. Důvodem, proč je Pythagorova věta tak hojně využívána, je to, že ji lze využít v celé řadě praktických situací. Naučte se rozpoznávat pravoúhlé trojúhelníky v reálném světě. Kdykoliv se dva rovné předměty nebo čáry protínají a tvoří pravý úhel, zatímco třetí strana nebo předmět tvoří nad pravým úhlem diagonálu, můžete použít ke zjištění délky kterékoliv z těchto stran Pythagorovu větu (za předpokladu, že znáte zbylé dvě délky).
- Pojďme si to vyzkoušet na praktickém příkladu, který je o něco složitější. O budovu je opřený žebřík. Základna žebříku je 5 m od paty zdi. Žebřík dosahuje do 20 m výšky zdi budovy. Jak dlouhý žebřík je?
  - "5 metrů od paty zdi” a "20 metrů vysoko” nám napovídá, jaké délky mají strany našeho trojúhelníku. Protože zeď (pravděpodobně) tvoří se zdí pravý úhel a žebřík vede šikmo ke zdi, můžeme si tuto situaci představit jako pravoúhlý trojúhelník se stranami délky a = 5 a b = 20. Délka žebříku je rovna délce přepony, hledáme tudíž c. Použijme tedy Pythagorovu větu:
    - a² + b² = c²
    - (5)² + (20)² = c²
    - 25 + 400 = c²
    - 425 = c²
    - sqrt(425) = c
    - c = 20.6 . Přibližná délka žebříku je 20,6 m.
Reklama

Metoda 2

Metoda 2 ze 2:

Výpočet vzdálenosti dvou bodů v souřadnicové soustavě X Y

1
Definujte si na soustavě souřadnic X Y dva body. Pythagorovu větu lze jednoduše použít k výpočtu přímé vzdálenosti dvou bodů v souřadnicové soustavě. Stačí vám přitom znáte souřadnice x a y obou bodů Tyto souřadnice se obvykle zapisují jako dvojice čísel v podobě (x, y).
- Ke zjištění vzdálenosti dvou bodů budeme s každým z nich zacházet, jako by šlo o jeden z vrcholů, kterým nenáleží pravý úhel. Tak totiž jednoduše zjistíme délky odvěsen a a b, z nichž pak spočteme délku přepony c. Ta je zároveň vzdáleností dvou bodů.
2
Zaneste si tyto dva body do grafu. Na standardním grafu v kartézském souřadnicovém systému udávají souřadnice bodu (x,y) následující: x je souřadnicí na vodorovné ose, y pak souřadnicí na svislé ose. Vzdálenost dvou bodů lze zjistit i bez zanášení do grafu, takto však získáte názorný pohled a zjistíte, jestli váš výsledek dává smysl.
3
Zjistěte délky odvěsen. Vezměte své dva body za vrcholy náležící přeponě trojúhelníku a zjistěte délky stran a a b. Můžete to provést graficky, nebo s pomocí vzorce |x₁ - x₂| pro vodorovnou stranu a |y₁ - y₂| pro svislou stranu, kde (x₁,y₁) představuje první bod a (x₂,y₂) druhý bod.
- Řekněme, že jsou našimi dvěma body tyto: (6,1) a (3,5). Délka horizontální odvěsny trojúhelníku je rovna:
  - |x₁ - x₂|
  - |3 - 6|
  - | -3 | = 3
- Délka vertikální odvěsny je rovna:
  - |y₁ - y₂|
  - |1 - 5|
  - | -4 | = 4
- Můžeme tedy říci, že má náš trojúhelník strany a = 3 a b = 4.
4
Spočtěte délku přepony pomocí Pythagorovy věty. Vzdálenost dvou bodů je rovna přeponě trojúhelníku, jehož dvě strany jste právě určili. Použijte tedy standardním způsobem Pythagorovu větu, přičemž za a dosaďte délku první strany a za b délku strany druhé.
- V našem příkladu s body (3,5) a (6,1) máme délky stran 3 a 4, takže bychom spočetli délku přepony následovně:
  - (3)²+(4)²= c²
    
    c= sqrt (9+16)
    
    c= sqrt (25)
    
    c= 5. Vzdálenost bodů (3,5) a (6,1) je rovna 5.
Reklama

Tipy

Pro přeponu platí:
- vždy překlenuje pravý úhel (nedotýká se jej)
- je nejdelší stranou trojúhelníku
- v Pythagorově větě je značena c
sqrt(x) je zkratka pro "odmocninu z x".
Nezapomeňte si vždy výpočty zkontrolovat. Pokud se vám výsledek nezdá, zkuste jej spočítat znovu.
Další kontrola – nejdelší strana musí ležet proti největšímu úhlu, nejkratší strana proti nejmenšímu úhlu.
Pokud není trojúhelník pravoúhlý, budete potřebovat znát více než jen délku dvou stran.
Klíčem ke správnému přiřazení hodnot a, b a c je náčrtek. Pokud pracujete se slovní úlohou, vždy si nejprve udělejte náčrtek.
Pokud znáte pouze délku jedné strany, s Pythagorovou větou nepochodíte. Zkuste použít trigonometrické funkce (sin, cos, tan) nebo poměry 30-60-90 / 45-45-90.