Jak pracovat s logaritmickými tabulkami

Před vznikem počítačů a kalkulaček byly logaritmy rychleji počítány s pomocí logaritmických tabulek. Když zjistíte, jak s nimi pracovat, mohou se tyto tabulky stále hodit pro rychlý výpočet logaritmů či násobení velkých čísel.

Metoda 1

Metoda 1 ze 4:

Stručný návod: Nalezení logaritmu

1
Vyberte si správnou tabulku. Ke zjištění log_a(n) budete potřebovat tabulku log_a. Většina logaritmických tabulek je věnována logaritmům o základu 10, nazývaným "desítkové logaritmy."
- Příklad: log₁₀(31.62) vyžaduje použití tabulky pro základ 10.
2
Najděte správnou buňku. Hledejte hodnotu buňky na následujících kříženích a ignorujte všechna desetinná místa.
- Řádek označený prvními dvěma číslicemi z n
- Záhlaví sloupce se třetí číslicí z n
- Příklad: log₁₀(31.62) → řádek 31, sloupec 6 → hodnota buňky 0.4997.
3
Pro přesná čísla využijte menší tabulky. Některé tabulky mají menší sadu sloupců na pravé straně. Pokud má n čtyři nebo více platných číslic, použijte je pro zpřesnění výsledků:
- Zůstaňte na stejném řádku.
- Najděte záhlaví malého sloupce se čtvrtou číslicí z n
- Přičtěte hodnotu k předchozímu výsledku
- Příklad: log₁₀(31.62) → řáděk 31, malý sloupec 2 → hodnota buňky 2 → 4997 + 2 = 4999.
4
Předřaďte desetinnou čárku. Logaritmická tabulka vám dá jen tu část výsledku, která je za desetinnou čárkou. Ta se nazývá "mantisa."
- Příklad: Zatím je výsledkem ?.4999
5
Najděte celočíselnou část. Nazývá se také "charakteristika". Metodou pokus-omyl najděte celočíselnou hodnotu p takového, aby $a^{p}<n$ $a^{p}<n$ a $a^{p+1}>n$ $a^{{p+1}}>n$ .
- Příklad: $10^{1}=10<31.62$ a $10^{2}=100>31.62$ . "Charakteristika" je 1. Konečný výsledek pak je 1.4999
- Všimněte si, jak je to jednoduché pro logaritmy o základu 10. Prostě spočtete počet číslic nalevo od desetinné čárky a odečtete 1.
Reklama

Metoda 2

Metoda 2 ze 4:

Podrobné instrukce: Nalezení logaritmu

1
Pochopte, co je logaritmus. 10² je 100. 10³ je 1000. Mocniny 2 a 3 jsou základem desítkového logaritmu 100 a 1000.^{[1]
X
Zroj výzkumu} Obecně pak lze a^b = c přepsat do tvaru log_ac = b. Řekneme-li tedy "deset na druhou je 100", můžete úplně stejně říci "logaritmus o základu 10 čísla 100 je dva." Každá logaritmická tabulka vždy funguje jen pro určitý základ (v rovnici výše označený a). Nejběžněji logaritmické tabulky pracují s logaritmy o základu 10, neboli desítkovými.
- Vynásobte dvě čísla sečtením jejich exponentů. Například: 10² * 10³ = 10⁵, neboli 100 * 1000 = 100,000.
- Přirozený logaritmus, značený "ln", je logaritmus o základu e, kde e je konstantou 2.718. Toto číslo je využitelné v mnoha oblastech matematiky a fyziky. Logaritmické tabulky přirozených logaritmů můžete použít stejně jako tabulky normálního desítkového logaritmu.
2
Charakterizujte číslo, jehož logaritmus chcete zjistit. Řekněme, že chcete najít desítkový logaritmus 15 v tabulce desítkových logaritmů. 15 leží mezi 10 (10¹) a 100 (10²), takže jeho logaritmus bude mezi 1 a 2, neboli 1.něco. 150 leží mezi 100 (10²) a 1000 (10³), takže jeho logaritmus bude ležet mezi 2 a 3,neboli bude 2.něco. Toto .něco se nazývá mantisa; tu najdete v logaritmické tabulce. To, co leží před desetinnou čárkou (v prvním příkladu 1, ve druhém 2) je charakteristika čísla.
3
Sjeďte prstem dolů na správný řádek ve sloupci tabulky zcela vlevo. V tomto sloupci najdete první dvě, u velkých logaritmických tabulek i tři číslice čísla, jehož logaritmus hledáte. Hledáte-li logaritmus 15.27 v normálních tabulkách, běžte na řádek označený 15. Při hledání logaritmu 2.57 běžte na řádek označený 25.
- Občas budou čísla v tomto řádku mít i desetinnou čárku, takže se můžete namísto na 25 podívat na 2,5. Desetinnou čárku můžete ignorovat, protože výsledek neovlivňuje.
- Ignorujte i desetinná místa čísla, jehož logaritmus hledáte, protože se mantisa logaritmu z 1.527 neliší od mantisy logaritmu 152.7.
4
Na správném řádku posuňte prst na správný sloupec. Tento sloupec bude označen další číslicí čísla, jeho logaritmus hledáte. Například při hledání logaritmu z 15.27 bude váš prst na řádku 15. Posuňte jej podél řádku napravo do sloupce 2. Budete ukazovat na číslo 1818. Zapište si jej.
5
Pokud máte ve svých tabulkách i tabulku jemnějších diferencí, posuňte prst na sloupec v této tabulce označený další číslicí hledaného čísla. U čísla 15.27 jde o sloupec 7. Prst máte na řádku 15 a sloupci 2. Posuňte jej po řádku 15 do jemného sloupce 7. Ukazujete na číslo 20. Napište si ho.
6
Čísla zjištěná v předchozích krocích sečtěte. Pro 15.27 dostanete 1838. To je mantisa logaritmu z 15.27.
7
Přičtěte charakteristiku. Protože 15 leží mezi 10 a 100 (10¹ a 10²), logaritmus 15 musí být mezi 1 a 2, tudíž 1.něco. Charakteristika tedy bude 1. Spojte charakteristiku s mantisou a dostanete konečný výsledek. Zjistili jste, že logaritmus z 15.27 je 1.1838.

Reklama

Metoda 3

Metoda 3 ze 4:

Nalezení antilogaritmu

1
Porozumějte tabule exponenciálních funkcí. Využijete ji, když znáte logaritmus čísla, ne však číslo samotné. Ve vzorci 10ⁿ = x představuje n dekadický neboli desítkový logaritmus z x. Znáte-li x, zjistíte logaritmus z tabulky. Pokud znáte n, zjistíte x z tabulky exponenciální.
- Exponenciála je obecně známá jako inverzní logaritmus.
2
Zapište si charakteristiku čísla. Jde o číslo před desetinnou čárkou. Pokud hledáte inverzní logaritmus k 2.8699, je vaší charakteristikou 2. Odmyslete si ji od čísla, které hledáte, nezapomeňte si ji však zapsat – později ji budete potřebovat.
3
Najděte řádek odpovídající první části mantisy. U čísla 2.8699 je mantisa .8699. Většina tabulek inverzních logaritmů, stejně jako většina logaritmických tabulek, má v sloupci úplně vlevo dvě číslice. Jeďte tedy prstem v tomto sloupci a najděte .86.
4
Nyní prstem přejeďte na sloupec označený další číslicí mantisy. U čísla 2.8699 přesuňte prst po řádku označeném .86 na křižovatku se sloupcem 9. Měli byste zde vidět 7396. Zapište si toto číslo.
5
Pokud máte v tabulkách i tabulku jemnějších diferencí, přesuňte prst na sloupec označený další číslicí mantisy. Držte prst pořád ve stejném řádku. V tomto případě přesunete prst na poslední sloupeček tabulky s číslem 9. Na křižovatce řádku .86 a sloupečku jemných diferencí s číslem 9 najdete 15. Zapište si to.
6
Sečtěte obě čísla z předchozích kroků. V našem případě jde o čísla 7396 a 15. Sečtěte je a dostanete 7411.
7
K určení desetinné čárky použijte charakteristiku. Naše charakteristika byla 2, což znamená, že výsledek bude mezi 10² a 10³, neboli mezi 100 a 1000. Aby číslo 7411 zapadlo do intervalu od 100 do 1000, musí být desetinná čárka za třetí číslicí, takže dostaneme zhruba 700. Nikoliv 70 (to je příliš málo), ani 7000 (což je zase příliš mnoho). Konečná odpověď tudíž bude 741.1.

Reklama

Metoda 4

Metoda 4 ze 4:

Násobení čísel s pomocí logaritmických tabulek

1
Pochopte, jak lze čísla násobit s využitím jejich logaritmů. Víme, že 10 * 100 = 1000. Zapsáno v mocninném (nebo logaritmickém)tvaru, 10¹ * 10² = 10³. Víme také, že 1 + 2 = 3. Obecně platí 10^x * 10^y = 10^{x + y}. Součet logaritmů dvou různých čísel se tedy rovná logaritmu součinu těchto čísel. Čísla o stejném základu můžeme násobit sečtením jejich mocnin.
2
Najděte si logaritmy obou čísel, které chcete násobit. Za pomoci postupů uvedených výše zjistěte logaritmy čísel. Například pokud chcete násobit čísla 15.27 a 48.54, zjistíte, že logaritmus z 15.27 je 1.1838 a logaritmus z 48.54 je 1.6861.
3
Logaritmy sečtěte a najděte logaritmus výsledku. V našem příkladu sečtete 1.1838 a 1.6861, takže dostanete 2.8699. Toto číslo je logaritmem vašeho výsledku.
4
Podívejte se do tabulky inverzních logaritmů a najděte výsledek podle postupu výše. Lze to udělat tak, že najdete v těle algoritmické tabulky číslo odpovídající co nejlépe mantise (8699). Efektivnější a spolehlivější však bude najít výsledek v tabulce inverzních logaritmů postupem popsaným o metodu výše. V našem příkladu dostanete výsledek 741.1.

Reklama

Tipy

Výpočty vždy provádějte na papíře a ne z hlavy, protože se v takto velkých a složitých číslech snadno ztratíte.
Pozorně čtěte nadpisy stránek. Logaritmické tabulky mívají okolo 30 stránek a na špatné stránce dostanete špatné výsledky.

Reklama

Varování

Metody popsané v tomto článku používejte pro desítkový (dekadický) logaritmus a ujistěte se, že jsou vámi hledaná čísla zapsána v desítkové soustavě, nebo s pomocí vědeckého zápisu.
Většina tabulek poskytuje přesnost jen na tři nebo čtyři číslice. Pokud najdete inverzní logaritmus z 2.8699 na kalkulačce, zaokrouhlí se výsledek na 741.2, zatímco v tabulkách najdete 741.1. Je to způsobeno zaokrouhlováním v tabulkách, takže pokud potřebujete přesnější výsledek, použijte raději kalkulačku či jiný nástroj.
Zkontrolujte si, že odečítáte stále ze stejného řádku. Kvůli malému písmu a hustému zápisu si snadno řádky a sloupce pomícháte.

Reklama