Jak spočítat modus řady čísel

Ve statistice je modus řady čísel číslo, které se v této řadě vyskytuje nejčastěji. Řada čísel nemusí mít nezbytně jediný modus – pokud se nejčastěji vyskytuje „sada“ dvou či více hodnot, pak můžeme řadu čísel označit za bimodální či multimodální. Jinými slovy, všechny nejčastěji se vyskytující hodnoty označíme za mody. Detailnější popis postupu hledání modu mod(X) veličiny X najdete v krocích níže.

Metoda 1

Metoda 1 ze 2:

Nalezení modu číselné řady

1
Zapište si čísla jako řadu. Mody se obvykle hledají v souboru statistických dat, nebo v seznamech číselných hodnot. Proto musíte nejprve určit datovou řadu, jejíž modus chcete hledat. Hledání modu „z hlavy“ je pro jakékoliv krom těch nejmenších číselných řad obtížné, proto je ve většině případů nejlepší začít s kopírováním (nebo vypisováním) hodnot řady. Pracujete-li s papírem a tužkou, postačí, když si budete vypisovat seřazená čísla řady. Při práci s počítačem je možné postup zjednodušit využitím tabulkového procesoru.
- Pochopení postupu hledání modu bude jednodušší na následujícím příkladu. V této sekci budeme k demonstraci používat následující sadu číselných hodnot: {18, 21, 11, 21, 15, 19, 17, 21, 17}. V několika následujících krocích najdeme modus této sady.
2
Seřaďte čísla od nejmenšího po největší. Dalším rozumným krokem je obvykle seřazení hodnot sady dat vzestupně. Ačkoliv to není naprosto nutné, zjednodušuje to hledání modu, jelikož tak dostanete stejná čísla do skupinek. U větších sad dat může být toto prakticky nezbytné, protože pouhé procházení seznamu hodnot a pamatování si počtu výskytu jednotlivých čísel je jak obtížné, tak to často vede k chybám.
- Při práci s papírem a tužkou vám může přepsání sady dat výhledově ušetřit čas. Vyhledejte v řadě nejnižší číslo. Když jej najděte, v původní řadě si jej škrtněte a přepište jej do nové řady. Postup opakujte s druhým, třetím (atd.) nejnižším číslem. Nezapomeňte si každé číslo zapsat tolikrát, kolikrát se vyskytuje v původní sadě dat.
- S počítačem pak máte mnohem širší možnosti. Většina tabulkových procesorů například umožňuje pomocí pár kliknutí seřadit seznam hodnot od nejnižší po nejvyšší.
- V našem příkladu by nový seřazený seznam měl vypadat takto: {11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}.
3
Spočtěte četnost, s jakou se každé číslo opakuje. Dalším krokem je spočítat počet výskytů každého čísla v řadě. Hledejte hodnotu, která se v řadě nejčastěji opakuje. U relativně malých datových řad seřazených vzestupně obvykle stačí jen najít největší „skupinku“ shodných čísel a určit jejich počet.
- Pracujete-li s tužkou a papírem, zkuste si počet výskytu zapisovat nad každou skupinku identických čísel. Používáte-li tabulkový program, můžete si totéž zapisovat do přilehlých buněk, nebo můžete využít jedné z funkcí programu pro sčítání počtu výskytu prvků.
- V našem příkladu ({11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}), se jedenkrát objevuje 11, jedenkrát 15, dvakrát 17, jedenkrát 18, jedenkrát 19 a třikrát 21. 21 je tedy nejčastější hodnotou této datové sady.
4
Najděte hodnotu (nebo hodnoty), která se vyskytuje nejčastěji. Když znáte počet výskytu každé z hodnot v datové sadě, najděte tu hodnotu, která se vyskytuje nejčastěji. Tato hodnota je modem vaší datové sady. Pamatujte, že v datová sada může mít více než jeden modus. Pokud se nejčastěji (a stejně často) vyskytují v sadě dvě hodnoty, pak lze datovou sadu označit za bimodální, zatímco tři nejčastější hodnoty dávají řadu trimodální a tak dále.
- Jelikož se v našem příkladu ({11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}) číslo 21 vyskytuje častěji než jakékoliv jiné, je modem právě 21.
- Pokud by se třikrát vyskytla i jiná hodnota než 21 (například pokud by v setu byla jedna 17 navíc), byla by modem obě tato čísla.
5
Nepleťte si modus datové řady s jejím průměrem či mediánem. Často společně uváděnými statistickými údaji jsou průměr, medián a modus. Snadno se pletou, protože jejich jména zní podobně a protože u jedné datové řady může být hodnota více než jednoho z těchto údajůshodná. Nicméně bez ohledu na to, jestli je modus datové řady zároveň jejím mediánem či průměrem, je důležité chápat, že jsou na sobě tyto tři údaje zcela nezávislé.Vizte níže:
- Průměr datové řady označuje aritmetický průměr čísel v ní. K jeho nalezení sečtete všechny hodnoty řady a vydělíte je počtem hodnot v řadě. V našem příkladu ({11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}) by byl průměr roven 11 + 15 + 17 + 17 + 18 + 19 + 21 + 21 + 21 = 160/9 = 17.78. Všimněte si, že součet hodnot dělíme 9, protože naše řada obsahuje celkem 9 hodnot.
- Medián řady čísel je její "prostřední hodnotou", která na dvě poloviny rozděluje nižší a vyšší hodnoty v řadě. V našem příkladu ({11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21}) je medián roven 18, protože je 18 prostředním číslem – v řadě totiž existují přesně 4 čísla vyšší a 4 čísla nižší než 18. Všimněte si, že pokud by v řadě byl sudý počet hodnot, nelze najít jediný medián. V takových případech se jako medián často uvažuje průměr dvou prostředních čísel.
Reklama

Metoda 2

Metoda 2 ze 2:

Zvláštní případy při hledání modu

1
Všimněte si, že v datové řadě, kde se všechna čísla vyskytují stejně často, modus neexistuje. Pokud je četnost výskytu všech hodnot v datové řadě stejná, modus řady neexistuje, protože žádná z hodnot není zastoupená častěji než hodnoty ostatní. Například řada čísel, kde se každá hodnota vyskytuje jednou, modus nemá. To samé platí pro řady dat, ve kterých se každá hodnota vyskytuje dvakrát, třikrát atd.
- Jestliže změníme naši ilustrační datovou řadu na {11, 15, 17, 18, 19, 21}, takže se v ní každá hodnota vyskytuje jedinkrát, pak tato řada modus nemá. To samé platí, pokud změníme řadu tak, aby se v ní každá hodnota objevila dvakrát: {11, 11, 15, 15, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 21, 21}.
2
Všimněte si, že modus řady nenumerických hodnot lze zjistit stejně, jako modus číselné řady. Obecně jsou nejčastější kvantitativní datové řady, které pracují s daty ve formě čísel. Některé datové řady však číselnou podobu nemají. V takovém případě lze – stejně jako u numerické datové řady – za "modus" označit tu hodnotu, která se v datové řadě vyskytuje nejčastěji. ^{[1]
X
Zroj výzkumu} Zároveň může být v takovéto řadě možné najít modus i přesto, že není možné určit smysluplný průměr či medián.
- Například: přírodovědecký posudek zjistí druh každého stromu rostoucího v malém parku. Datová sada typů stromů v parku je {Cedr, Olše, Cedr, Borovice, Cedr, Cedr, Olše, Olše, Borovice, Cedr}. Tento druh datové sady se nazývá nominální, protože lze její jednotlivé prvky rozlišit pouze dle označení. V tomto případě je modem datové sady Cedr, protože se vyskytuje nejčastěji (pětkrát, na rozdíl od tří výskytů olše a dvou výskytů borovice).
- Všimněte si, že v datové řadě z tohoto příkladu nelze vypočítat medián ani průměr, protože jednotlivé prvky nemají žádnou číselnou hodnotu.
3
Všimněte si, že pro unimodální symetrickou distribuci mají modus, medián a průměr stejnou hodnotu. Jak bylo zmíněno, v určitých případech je možné, aby se modus, medián a/nebo průměr překrývaly. Ve speciálních vybraných případech, kdy hustota funkce datové řady tvoří perfektně symetrickou křivku s jediným modem (například Gaussova křivka), mají modus, medián i průměr stejnou hodnotu. Protože funkce rozložení znázorňuje relativní četnost výskytu prvků, bude modus logicky ve středu křivky symetrického rozložení, jelikož nejvyšší bod grafu udává nejčastěji se vyskytující hodnotu. Protože je řada dat symetrická, bude tento bod na grafu odpovídat také mediánu (střední hodnotě řady) i průměru (průměrné hodnotě řady dat).
- Uvažme například datovou řadu {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5}. Pokud bychom znázornili její graf rozložení, dostali bychom symetrickou křivku, která dosahuje v bodě x = 3 výšky 3, zatímco v bodech x = 1 a x = 5 klesá na výšku 1. Protože je nejčastější hodnotou řady 3, je modem. Protože středovou trojku v datové z každé strany obklopují 4 hodnoty, je číslo 3 rovněž mediánem. A konečně, průměr datové řady dává 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 27/9 = 3, což znamená, že je 3 zároveň i průměrem.
- Výjimku z tohoto pravidla tvoří symetricky rozložená řada dat s více než jedním modem. V takovém případě, jelikož může mít datová řada jen jediný medián a průměr, nebudou s jejich hodnotami oba mody souhlasit.
Reklama