Jak vypočítat nejistotu

Kdykoliv při sběru dat něco měříte, můžete předpokládat existenci jakési "pravé hodnoty", která spadá do rozsahu provedených měření. Pro výpočet nejistoty měření potřebujete učinit co možná nejlepší odhad výsledku a určit, zda pak její hodnotu přičtete či odečtete. Pokud chcete vědět, jak hodnotu nejistoty spočítat, pokračujte dle následujícího návodu.

Metoda 1

Metoda 1 ze 3:

Naučte se základy

1
Uvádějte nejistotu ve správném tvaru. Řekněme, že měříte klacík, který má téměř 4,2 cm, plus mínus 1 milimetr. To znamená, že víte, že by měl být klacík velký 4,2 cm, ve skutečnosti však může být mírně větší či menší (oproti měření), což vám dává chybu 1 mm.
- Nejistotu pak uvedete takto: 4,2 cm ± 0,1 cm. To lze přepsat také do tvaru 4,2 cm ± 1 mm, jelikož 0,1 cm = 1 mm.
2
Experimentálně změřené hodnoty vždy zaokrouhlete na stejný počet desetinných míst jako nejistotu. Měření zahrnující výpočet nejistoty se obvykle zaokrouhlují na jednu či dvě platné číslice. Nejdůležitější však je, abyste experimentálně zjištěné hodnoty zaokrouhlili na stejný počet desetinných míst jako nejistotu, takže budou výsledky konzistentní.
- Pokud jste experimentálně naměřili 60 cm, měla by i spočtená nejistota být zaokrouhlená na celé číslo. Nejistota tohoto měření například může být 60 cm ± 2 cm, nikoliv však 60 cm ± 2,2 cm.
- Pokud jste experimentálně naměřili 3,4 cm, pak byste měli nejistotu zaokrouhlit na 0,1 cm. Nejistota tohoto měření například může být 3,4 cm ± 0,1 cm, ne však 3,4 cm ± 1 cm.
3
Vypočtěte nejistotu jediného měření. Řekněme, že měříte průměr kulatého míčku pravítkem. To je obtížné, protože nelze přesně říci, kde se okraje míčku promítají na pravítko (protože jsou zaoblené, nikoliv rovné). Řekněme, že pravítko umí měřit s přesností na 0,1 cm – to však neznamená, že změříte průměr s takovouto přesností. ^{[1]
X
Zroj výzkumu}
- Prozkoumejte okraje míčku a pravítka, abyste odhadli, jak přesně můžete průměr změřit. U standardního pravítka uvidíte zřetelně značky po 0,5 cm – řekněme však, že můžete být ještě o maličko přesnější. Pokud se zdá, že se k přesnému výsledku dokážete přiblížit na 0,3 cm, pak dostáváte nejistotu 0,3 cm.
- Nyní změřte průměr míčku. Řekněme, že jste naměřili asi 7,6 cm. Jednoduše tedy uveďte výsledek měření a jeho nejistotu. Průměr míčku je 7,6 cm ± 0,3 cm.
4
Vypočtěte nejistotu jednoho měření několika předmětů. Řekněme, že měříte stoh 10 obalů na CD, které mají stejnou délku. Řekněme, že chcete zjistit tloušťku jediného obalu na CD. Výsledek měření bude tak malý, že dostanete vcelku vysokou procentuelní nejistotu. Když však změříte celý stoh najednou, můžete jednoduše vydělit výsledek měření i jeho nejistotu počtem CD obalů. Tak získáte tloušťku jednoho obalu. ^{[2]
X
Zroj výzkumu}
- Řekněme, že se s pomocí pravítka přiblížíte k výsledku na 0,2 cm. Nejistota měření je tedy ± 0,2 cm.
- Nyní řekněme, že jste naměřili celkovou tloušťku všech obalů na CD ve stohu 22 cm.
- Nyní stačí vydělit měření i nejistotu číslem 10, tedy počtem obalů na CD. 22 cm/10 = 2,2 cm a 0,2 cm/10 = 0,02 cm. To znamená, že je tloušťka jednoho obalu na CD rovna 2,20 cm ± 0,02 cm.
5
Proveďte opakovaná měření. Snížením nejistoty (ať už měříte délku předmětu, nebo čas, za který urazí určitou vzdálenost) pomocí několikrát opakovaného měření zvýšíte své šance na získání přesného výsledku. Výpočtem průměrné hodnoty z více měření získáte při výpočtu nejistoty přesnější odhad výsledku.

Reklama

Metoda 2

Metoda 2 ze 3:

Výpočet nejistoty opakovaných měření

1
Proveďte několik měření. Řekněme, že chcete určit, jak dlouho padá míček na podlahu z výšky stolu. Pro získání nejlepších výsledků budete muset pád míčku na podlahu změřit několikrát – řekněme pětkrát. Poté musíte vypočítat z pěti měřený průměrný čas, a nakonec od tohoto čísla odečíst (nebo k němu přičíst) standardní odchylku. Tím dostanete nejpřesnější možný výsledek. ^{[3]
X
Zroj výzkumu}
- Řekněme, že jste naměřili následujících pět časů: 0,43 s, 0,52 s, 0,35 s, 0,29 s a 0,49 s.
2
Zjistěte průměr z těchto hodnot. Nyní vypočtěte průměr tak, že sečtete všech pět různých měření, a výsledek podělíte 5, tedy počtem měření. 0,43 s + 0,52 s + 0,35 s + 0,29 s + 0,49 s = 2,08 s. Nyní vydělte 2,08 číslem 5. 2,08/5 = 0,42 s. Průměrný čas je tedy 0,42 s.
3
Najděte odchylku těchto měření. K tomu nejprve potřebujete zjistit rozdíl mezi každou z pěti naměřených hodnot a spočteným průměrem. Uděláte to jednoduše tak, že od naměřených časů odečtete 0,42 s. Pět vypočtených rozdílů vidíte níže:^{[4]
X
Zroj výzkumu}
- 0,43 s – 0,42 s = 0,01 s
  - 0,52 s – 0,42 s = 0,1 s
  - 0,35 s – 0,42 s = -0,07 s
  - 0,29 s – 0,42 s = -0,13 s
  - 0,49 s – 0,42 s = 0,07 s
  - Nyní sečtěte druhé mocniny těchto rozdílů: (0,01 s)² + (0,1 s)² + (-0,07 s)² + (-0,13 s)² + (0,07 s)² = 0,037 s.
  - Průměr z tohoto součtu čtverců (druhých mocnin) získáte tak, že jej vydělíte 5. 0,037 s/5 = 0,0074 s.
4
Vypočtěte standardní odchylku. Standardní odchylku vypočtete tak, že odmocníte zjištěnou odchylku. Odmocnina z čísla 0,0074 s = 0,09 s, standardní odchylka má tudíž hodnotu 0,09 s.^{[5]
X
Zroj výzkumu}
5
Uveďte výsledek měření. K tomu stačí zapsat průměr naměřených hodnot spolu s přičtením a odečtením standardní odchylky. Průměr měření je roven 0,42 s a standardní odchylka pak 0,09 s, výsledek měření je tudíž 0,42 s ± 0,09 s.

Reklama

Metoda 3

Metoda 3 ze 3:

Aritmetické operace s měřeními s nejistotou

1
Sečtěte měření s nejistotou. Při sčítání měření s nejistotou jednoduše sečtěte měření a jejich nejistoty:^{[6]
X
Zroj výzkumu}
- (5 cm ± 0,2 cm) + (3 cm ± 0,1 cm) =
- (5 cm + 3 cm) ± (0,2 cm + 0,1 cm) =
- 8 cm ± 0,3 cm
2
Odečtěte měření s nejistotou. Při odečítání měření s nejistotou jednoduše odečtete měření, jejich nejistoty však stále sčítáte:^{[7]
X
Zroj výzkumu}
- (10 cm ± 0,4 cm) - (3 cm ± 0,2 cm) =
- (10 cm - 3 cm) ± (0,4 cm + 0,2 cm) =
- 7 cm ± 0,6 cm
3
Násobte měření s nejistotou.
Při násobení měření s nejistotou jednoduše vynásobíte hodnoty měření, a poté sečtete jejich RELATIVNÍ nejistoty (procentuelně):^{[8]
X
Zroj výzkumu}
Při výpočtu nejistoty během násobení nepracujete s absolutní hodnotou nejistoty (jako při sčítání a odčítání), ale s její relativní hodnotou. Relativní hodnotu dostanete tak, že vydělíte absolutní nejistotu hodnotou měření, a výsledek vynásobíte 100 (čímž dostanete procenta).
Například:
- (6 cm ± 0,2 cm) = (0,2 / 6) x 100 a přidáte znaménko %. Dostanete 3,3 %
  Tudíž:
- (6 cm ± 0,2 cm) x (4 cm ± 0,3 cm) = (6 cm ± 3,3% ) x (4 cm ± 7,5%)
- (6 cm x 4 cm) ± (3,3 + 7,5) =
- 24 cm ± 10,8 % = 24 cm ± 2,6 cm
4
Dělení měření s nejistotou.
Při dělení měření s nejistotou jednoduše vydělíte hodnoty měření, a poté sečtete jejich RELATIVNÍ nejistoty: ^{[9]
X
Zroj výzkumu}
Postup se neliší od násobení!
- (10 cm ± 0,6 cm) ÷ (5 cm ± 0,2 cm) = (10 cm ± 6%) ÷ (5 cm ± 4%)
- (10 cm ÷ 5 cm) ± (6% + 4%) =
- 2 cm ± 10% = 2 cm ± 0,2 cm
5
Umocnění měření s nejistotou. Při umocnění měření s nejistotou jednoduše umocněte hodnotu měření daným exponentem, a poté tímto exponentem vynásobte nejistotu měření: ^{[10]
X
Zroj výzkumu}
- (2,0 cm ± 1,0 cm)³ =
- (2,0 cm)³ ± (1,0 cm) x 3 =
- 8,0 cm ± 3 cm
Reklama

Tipy

Uvádět můžete jak výsledky a standardní odchylky všech výsledků celkově, nebo u každého výsledku zvlášť. Obecně platí, že data vycházející z několika měření dohromady jsou méně přesná, než tak získaná z každého měření jednotlivě.

Reklama

Varování

Nejistota získaná výše popsaným způsobem je použitelná jen ve statistice s normálním (Gaussovým) rozdělením hodnot. Jiná distribuce hodnot vyžaduje použití rozdílných způsobů výpočtu nejistoty.
Správná věda nikdy neprodukuje "fakta" a "pravdy." Přestože se pravá hodnota měření velmi pravděpodobně nachází v rozsahu daném nejistotou, nelze to nijak garantovat. Vědecké měření vždy zahrnuje možnost nesprávnosti výsledku.

Reklama