Jak vypočítat obsah trojúhelníku

Spoluautorem článku je Pracovnící wikiHow

I když nejběžnějším způsobem, jak vypočítat obsah trojúhelníku je vynásobit délku jeho strany příslušnou výškou a vydělit dvěma, existují ještě další možnosti. Záleží na hodnotách, které máte pro výpočet k dispozici. Naučte se vypočítat obsah trojúhelníku, znáte-li délku všech tří stran, délku strany rovnostranného trojúhelníku a délku dvou stran a úhlu, který svírají.

Metoda 1

Metoda 1 ze 4:

Výpočet s délkou jedné strany a příslušné výšky

Stáhnout PDF

1
Změřte délku základny a výšky trojúhelníku. Základna je obvykle spodní strana, která často bývá nejdelší. Výška je délka přímky, která je kolmá k základně a protíná protilehlý vrchol trojúhelníku.
- Jakmile budete znát délku strany a výšky, můžete je dosadit do vzorečku.
2
Napište si vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku. Vzoreček je ${\text{Obsah}}={\frac {1}{2}}(bh)$ , kde $b$ je délka základny trojúhelníku, a $h$ je výška trojúhelníku.^{[1]
X
Zroj výzkumu}
3
Dosaďte výšku a délku strany do vzorce. Změřené hodnoty použijte v rovnici pro vypočítání obsahu trojúhelníku. ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ . Dostanete tak obsah trojúhelníku ve čtverečních jednotkách.
- V našem příkladu je výška 3 cm a délka základny trojúhelníku 5 cm. Po dosazení bude vzorec vypadat takto:
  ${\text{Obsah}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{ Obsah }}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
  ${\text{ Obsah }}={\frac {1}{2}}(15)$
  ${\text{ Obsah }}=7.5$
  Takže obsah trojúhelníku se základnou 5 cm a výškou 3 cm je 7,5 čtverečních centimetrů.
4
Vypočítejte obsah pravoúhlého trojúhelníku. Protože dvě strany pravoúhlého trojúhelníku jsou protilehlé, jedna z těchto protilehlých stran bude výškou trojúhelníku. Druhá strana bude jeho základna. Takže i v případě, že výška nebo základna není známá, pokud znáte délku stran, znáte je také. Můžete použít také ${\text{ Obsah}}={\frac {1}{2}}(bh)$ ${\text{ Obsah}}={\frac {1}{2}}(bh)$ tento vzorec a zjistit obsah.
- Můžete také použít tento vzorec, pokud znáte jednu délku strany, plus délku přepony. Přepona je nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku a je naproti pravém úhlu. Nezapomeňte, že můžete zjistit chybějící délku pravoúhlého trojúhelníku pomocí Pythagorovy věty ( $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ).
- Pokud je například přepona trojúhelníku strana c, výška a základna budou zbývající dvě strany (a a b). Pokud víte, že přepona je 5 cm, a základna 4 cm, použijte Pythagorovu větu a zjistěte výšku:
  $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
  $a^{2}+16=25$
  $a^{2}+16-16=25-16$
  $a^{2}=9$
  $a=3$
  Nyní můžete zapojit dvě protilehlé strany (a a b) do vzorce obsahu a nahradíte jimi výšku a základnu:
  ${\text{Obsah}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{Obsah}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
  ${\text{Obsah}}={\frac {1}{2}}(12)$
  ${\text{Obsah}}=6$
Reklama

Metoda 2

Metoda 2 ze 4:

Výpočet se znalostí délky všech stran (Heronův vzorec)

Stáhnout PDF

1
Vypočítejte poloviční obvod trojúhelníka. Potřebujete k tomu jednoduše sečíst délky všech tří stran a výsledek vydělit dvěma. ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ .^{[2]
X
Zroj výzkumu}
- Řekněme, že strany jsou dlouhé 3 cm, 4 cm, a 5 cm. Dosazení do vzorce pak bude vypadat následovně:
  $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
  $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
2
Dosaďte požadované hodnoty do vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku. ${\text{Obsah}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ , kde $s$ je poloviční obvod trojúhelníku, a $a$ , $b$ , and $c$ jsou délky stran trojúhelníku.^{[3]
X
Zroj výzkumu}
3
Dosaďte poloviční obvod a délky stran do vzorce. Ujistěte se, že dosadíte obvod pro každou hodnotu $s$ $s$ ve vzorečku.
- Například:
  ${\text{Obsah}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
  ${\text{Obsah}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
4
Všechny výsledky ze závorek mezi sebou vynásobte. Odečtěte délku každé strany od polovičního obvodu. Poté tyto tři hodnoty mezi sebou vynásobte.
- Například:
  ${\text{Obsah}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
  ${\text{Obsah}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
  ${\text{Obsah}}={\sqrt {6(6)}}$
5
Předchozí výsledek odmocněte. Nezapomeňte, v jakých jednotkách jste začínaly výpočty. V tomto příkladu to byly centimetry. Výsledek tedy uveďte ve čtverečních centimetrech.
- Například:
  ${\text{Obsah}}={\sqrt {6(6)}}$
  ${\text{Obsah}}={\sqrt {36}}$
  ${\text{Obsah}}=6$
  Takže obsah trojúhelníku je 6 čtverečních centimetrů.
Reklama

Metoda 3

Metoda 3 ze 4:

Výpočet obsahu rovnostranného trojúhelníku

Stáhnout PDF

1
Změřte délku jedné strany rovnostranného trojúhelníku. Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé. I úhly, které svírají, jsou všechny stejné. Že počítáte s rovnostranným trojúhelníkem se dozvíte ze zadání, pokud tyto informace obsahuje.^{[4]
X
Zroj výzkumu}
- V našem příkladu je jedna strana rovnostranného trojúhelníku dlouhá 6 cm
2
Naučte se vzorec pro výpočet obsahu rovnostranného trojúhelníku. Zní následovně ${\text{Obsah}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$ , kde $s$ se rovná délce jedné strany rovnostranného trojúhleníku.^{[5]
X
Zroj výzkumu}
3
Dosaďte délku strany do vzorce. Nahraďte také proměnnou $s$ $s$ , a poté hodnotu umocněte.
- Pokud má například rovnostranný trojúhelník stranu dlouhou 6 cm, budete počítat takto:
  ${\text{Obsah}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Obsah}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Obsah}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
4
Odmocninu vynásobte 4 ${\sqrt {3}}$ . Použijte kalkulačku a dostanete výsledek 1.732 pro zaokrouhlenou hodnotu ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ .
- Například:
  ${\text{Obsah}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Obsah}}={\frac {62.352}{4}}$
5
Výsledek vydělte 4. Dostanete tak obsah trojúhelníku ve čtverečních jednotkách.
- Například:
  ${\text{Area}}={\frac {62.352}{4}}$
  ${\text{Area}}=15.588$
  Obsah rovnostranného trojúhelníku o straně délky 6 cm je 15.59 cm čtverečních.
Reklama

Metoda 4

Metoda 4 ze 4:

Použití trigonometrie

Stáhnout PDF

1
Změřte délku dvou stran a jimi svíraného úhlu. Pro tuto metodu potřebujete znát právě uvedené hodnoty.^{[6]
X
Zroj výzkumu} Řekněme, že náš trojúhelník má následující rozměry.
- Máte například trojúhelník se dvěma stranami 150 cm a 231 cm na délku. Úhel mezi nimi je 123 stupňů.
2
Napište si vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku. Vzorec je následující ${\text{Obsah}}={\frac {bc}{2}}\sin A$ , kde $b$ and $c$ jsou dvě svírající strany trojúhelníku a $A$ je úhel mezi nimi.^{[7]
X
Zroj výzkumu}
3
Dosaďte délky stran do vzorce. Nezapomeňte dosadit také proměnné $b$ $b$ and $c$ $c$ . Vynásobte hodnoty a poté je vydělte dvěma.
- Například:
  ${\text{Obsah}}={\frac {bc}{2}}\sin A$
  ${\text{Area}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A$
  ${\text{Obsah}}={\frac {(34,650)}{2}}\sin A$
  ${\text{Obsah}}=17,325\sin A$
4
Dosaďte sinus úhlu do vzorečku. K jeho výpočtu můžete použít kalkulačku tak, že zapíšete údaje a úhlu a stisknete tlačítko “SIN”.
- Například, sinus 123° úhlu je .83867, takže vzorec bude vypadat takto:
  ${\text{Obsah}}=17,325\sin A$
  ${\text{Obsah}}=17,325(.83867)$
5
Vynásobte dvě hodnoty. Dostanete tak obsah trojúhelníku ve čtverečních jednotkách.
- Například:
  ${\text{Obsah}}=17,325(.83867)$
  ${\text{Obsah}}=14,529.96$ .
  Obsah trojúhelníku je tedy 14, 530 cm2.
Reklama

Tipy

Pokud vám není jasné, jak přesně první metoda, tedy výpočet se znalostí základny a výšky funguje, tady je vysvětlení. Pokud narýsujete další totožný trojúhelník a spojíte jej s prvním, výsledkem bude buď obdélník, nebo rovnoběžník (podle typu trojúhelníku). Pro výpočet obsahu obdélníku nebo rovnoběžníku jednoduše vynásobíte jeho výšku s jeho délkou. Protože trojúhelník je polovinou obdélníku nebo rovnoběžníku, musíte výsledek vydělit dvěma.

Reklama